22.2.5 因式分解法 第1篇
教学内容
用因式分解法解一元二次方程.
教学目标
掌握用因式分解法解一元二次方程.
通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.
重难点关键
1.重点：用因式分解法解一元二次方程.
2.难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程.
（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为 ， 的一半应为 ，因此，应加上（ ）2，同时减去（ ）2.（2）直接用公式求解.
二、探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题.
（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- .
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.
例1.解方程
（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4
分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式
解：（1）移项，得：4x2-11x=0
因式分解，得：x（4x-11）=0
于是，得：x=0或4x-11=0
x1=0，x2=
（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0
（x-2）2-2（x-2）=0
因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0
整理，得：（x-2）（x-4）=0
于是，得x-2=0或x-4=0
x1=2，x2=4
例2.已知9a2-4b2=0，求代数式 的值.
分析：要求 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误.
解：原式=
∵9a2-4b2=0
∴（3a+2b）（3a-2b）=0
3a+2b=0或3a-2b=0，
a=- b或a= b
当a=- b时，原式=- =3
当a= b时，原式=-3.
三、应用拓展
例3.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程.
（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0
分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交*相乘而成的.根据上面的分析，我们可以对上面的三题分解因式.
解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）
∴（x-4）（x+1）=0
∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）
∴（x-6）（x-1）=0
∴x-6=0或x-1=0
∴x1=6，x2=1
（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）
∴（x+5）（x-1）=0
∴x+5=0或x-1=0
∴x1=-5，x2=1
上面这种方法，我们把它称为十字相乘法.
四、归纳小结
本节课要掌握：
（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.
（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次.
②公式法是由配方法推导而得到.
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程.
区别：①配方法要先配方，再开方求根. ②公式法直接利用公式求根. ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.
五、作业
一、选择题
1.下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）.
a.（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
b.（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
c.（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
d.x2=x 两边同除以x，得x=1
2.下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（ ）.
a.0个 b.1个 c.2个 d.3个
3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（ ）.
a.- b.-1 c. d.1
二、填空题
1.x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______.
2.方程（2x-1）2=2x-1的根是________.
3.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________.
三、综合提高题
1.用因式分解法解下列方程.
（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0
（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=0
2.已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值.
3.今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场.为了节约材料，鸡场的一边*着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
答案:
一、1.b 2.a 3.d
二、1.x（x-5），（x-3）（2x-5）2.x1= ，x2=13.（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8
三、1.
（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2
（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=- ，y2=
（3）（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2
（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=5
2.x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1
3.设宽为x，则长为35-2x，依题意，得x（35-2x）=150 2x2-35x+150=0 （2x-15）（x-10）=0， x1=7.5，x2=10，当宽x1=7.5时，长为35-2x=20，当宽x=10时，长为15，因a≥20m，两根都满足条件.
22.2.5 因式分解法 第2篇
用因式分解法求解一元二次方程导学案
§2.4用因式分解法求解一元二次方程
学习目标
1.我能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
2.我会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
学习重点
掌握分解因式法解一元二次方程。
学习难点
灵活运用分解因式法解一元二次方程。
学习方法
自主 合作 交流探究
环节一
自主学习
自主学习
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 。
3、选择合适的方法解下列方程：
①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0
4、 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
5、因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
6、因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程.其理论根据是：若a·b＝0新北师大版
环节二
交流展示
二.交流展示
例：解下列方程。
1. 5x2=4x 2. x-2=x(x-2)
3.x2－6x－19＝0； 4. 3x2＝4x＋1
想一想：你能用几种方法解方程1、x2 -4=0, 2、(x+1) 2 -25=0 ？
环节三
能力提升
三、能力提升
1、用适当方法解下列方程：
(1)y2－15＝2y；(2)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0 (3)t(2t－1)＝3(2t－1)；
环节四
达标检测
1、关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为___
2、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0.求x2＋y2的值.
3、已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是多少？
4、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值
5、已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求新北师大版
环节五
作业布置
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