用一元二次方程解决“封面设计问题”.
2.内容解析
本节课是21.3 实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处.
在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型.探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度.在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点.
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）会用一元二次方程解决“封面设计问题”；
（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力.
2.目标解析
（1）能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果；
（2）完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.
三、教学问题诊断分析
探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手.学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点.
四、教学过程设计
1.弄清题意
问题1 怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话？
师生活动 教师提问，学生思考、回答.
根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数？哪几个，为什么？”加以引导.
一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数（上面的边衬宽度和左面的边衬宽度）”.
【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.
问题2 题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？
师生活动 学生读题，思考，可以适当讨论.根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导.如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话？“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么？
学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为.
【设计意图】培养学生读题、审题能力.
2.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换
问题3 如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言？
师生活动 学生思考并回答问题.这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系.
设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为 cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm.
把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：.
教师追问： 四个未知数、，它们之间还存在怎样的数量关系？
这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么？
把“图形语言”翻译成数学符号语言可得： .
【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.
3.解决问题
问题4 怎么解决“封面设计问题”？
师生活动 教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论.
前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽 、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：
，.
教师引导学生发现，这就是一个以、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了.
【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想.
问题5 请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法.
师生活动 学生独立思考、解题，并与同学交流.教师请同学展示解法并进行点评.
学生可能的解法：
（1），（2），（3），（4）.
方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分别代入（3）、（4）求出a、b的值.
说明1：在由（1）、（2）求、的过程中，可以依据，设简化计算.
说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为 cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度.
方法二：由（3）、（4）变形得，把（5）、（6）分别代入（1）、（2）可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值.
说明：把（5）、（6）代入（2）化简可得，可以依据，设，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，进而求出、的值.
【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式.
问题6 你求出的、的值都是实际问题的解吗？
师生活动 教师提出问题，学生通过计算得出结论.
【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解.
4.回顾反思
问题7 通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会？
师生活动 请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：
（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（2）在 “封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？
【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法.
5.布置作业
教科书习题21.3第5，8，9题.
五、目标检测设计
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（ ）.
a. b. c. d.
【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系.
2.(XX年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案。
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。
【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题。
初三上册《实际问题与一元二次方程》导学案 第2篇
本文是网小编为大家整理的初三《实际问题与一元二次方程》说课稿，希望对大家有所帮助。
各位评委：
大家好!
今天我说课的内容是人教版初中数学初三上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》的第四课时实验与探究。它是继传播问题、百分率问题、长宽比例问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
(一)教材分析与学生现实分析
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
（二）数学新课程标准要求：
人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:
1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度与价值观：通过用一元二次解决实际问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展的作用。激发学生学习数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点、难点及解决措施：
重点：列一元二次方程解实际问题。
难点：发现问题中的等量关系。
教师引导，学生自主探索、合作交流。
(三)教法的确定与学法指导
我们学校在去年实行了杜郎口中学的三三六的教学模式立体式、大容量、快节奏;自主学习三模块：预习、展示、反馈;课堂展示六环节：预习交流、明确目标、分组合作、展现提升、穿插巩固、达标测评。对于每个专题都要经历预习、展示和达标检测三个环节，经过一年的训练，学生们已经有较好的自学能力和小组合作能力，实践表明，学生给学生讲题，同学们会更有兴趣，也更容易接受，学生通过自我展示不但能激发他们的表现欲，还能提高语言表达能力和竞争意识。我们让各个小组轮流来当课堂“小老师”，以提高他们的合作水平和对试题的阅读理解能力，同学们和教师也会根据每个“小老师”讲解的具体情况来进行修正和补充，强调重点，总结规律。为了鼓励学生勤于思考，善于发问，我在课堂上引入“奖励分”制度，对于独特解法或有提出创造性问题的同学和小组给予1——3分的奖励。本节课是对一元二次方程应用的基本问题的学习后的探索活动课，在预习课上我已经下发了试题学案，并给每个小组分配了展示任务。学案上我选用了了四道实际问题，要求同学们找出试题特点和关键词语以及易错点，并用硬纸板和铁丝做出相应的试题模型。预习课上学生先做题再合作，同学们之间有充分的交流和讨论。
(四)教学过程分析
心理学研究表明，当外部刺激唤起主体的情感活动时，就更容易成为注意的中心，由此我选了这样的几道题：
1、在信息时代，邮政特快专递越来越受到广大用户的青睐。我们同学要给“希望小学”邮寄一些学习用具，为了保证学习用具不受潮损坏，同学们决定自己制作一个包装盒，为此，选用长80厘米，宽60厘米的纸板，在四个角截出四个大小相同的正方形，然后把四边折起，做成一个底面积为1500平方厘米的无盖长方体盒子，并配上相应的盖子，同学们想一想怎样求出盒子的高?
我先让每一个小组展示用硬纸板制作的模型，相互比较形状各异的长方体的纸盒，谈一谈有什么发现，同学们会说：截出正方形的边长不同，盒子的高，底面积也不同，还有正方形的边长就是盒子的高。展示小组再将问题具体解答，不难列出方程并解出方程的解，教师追问展示小组请说出解这道题需要注意
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