下学期 4.10 正切函数的图象和性质 第1篇
4.10 正切函数的图象和性质
第二课时
（一）教学具准备
投影仪
（二）教学目标
运用正切函数图像及性质解决问题.
（三）教学过程
1.设置情境
本节课，我们将综合应用正切函数的性质，讨论泛正切函数的性质.
2.探索研究
（1）复习引入
师：上节课我们学习了正切函数的作图及性质，下面请同学们复述一下正切函数 的主要性质
生：正切函数 ，定义域为 ；值域为 ；周期为 ；单调递增区间 ， .
（2）例题分析
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；
分析：根据函数的奇偶性定义及负角的诱导公式进行判断.
解：（1）∵ 的定义域为 关于原点对称.
∴ 为偶函数
（2）∵ 的定义域为 关于原点对称，且 且 ，
∴ 即不是奇函数又不是偶函数.
说明：函数具有奇、偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故难证 或 成立之前，要先判断定义域是否关于原点对称.
【例2】求下列函数的单调区间：
（1） ； （2） .
分析：利用复合函数的单调性求解.
解：（1）令 ，则
∵ 为增函数， 在 ， 上单调递增，
∴ 在 ，即 上单调递增.
（2）令 ，则
∵ 为减函数， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递减，即 在 上单调递减.
【例3】求下列函数的周期：
（1） （2） .
分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为 来解.
解：（1）
∴周期
（2）
∴周期
师：从上面两例，你能得到函数 的周期吗？
生：周期
【例4】有两个函数 ， （其中 ），已知它们的周期之和为 ，且 ， ，求 、 、 的值.
解：∵ 的周期为 ， 的周期为 ，由已知 得
∴函数式为 ， ，由已知，得方程组
即 解得
∴ ， ，
［参考例题］求函数 的定义域.
解：所求自变量 必须满足
（ ）
（ ）
故其定义域为
3.演练反馈（投影）
（1）下列函数中，同时满足①在 上递增；②以 为周期；③是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
（2）作出函数 ，且 的简图.
（3）函数 的图像被平行直线_______隔开，与 轴交点的横坐标是__________，与 轴交点的纵坐标是_________，周期________，定义域__________，它的奇偶性是_____________.
参考答案：（1）C.
（2）
如图
（3） （ ）； ，（ ）；1； ； ；非奇非偶函数.
4.总结提炼
（1） 的周期公式 ，它没有极值，正切函数在定义域上不具有单调性（非增函数），了不存在减区间.
（2）求复合函数 的单调区间，应首先把 、 变换为正值，再用复合函数的单调性判断法则求解.
（四）板书设计
课题——
例1
例2
例3
例4
［参考例题］
演练反馈
总结提炼
下学期 4.10 正切函数的图象和性质 第2篇
4.10 正切函数的图象和性质
第一课时
（一）教学具准备
直尺、投影仪.
（二）教学目标
1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.
2.掌握正切函数的性质及其应用.
（三）教学过程
1.设置情境
正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图.
2.探索研究
师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.
生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点.
师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.
（1）用正切线作正切函数图像
师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？
生：∵
∴ 是周期函数， 是它的一个周期.
师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像.
作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.
③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）.
④找纵坐标，正切线平移.
⑤连线.
图1
根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）.
图2
（2）正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.
①定义域：
②值域
由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）.这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集 .
③周期性
正切函数是周期函数，周期是 .
④奇偶性
∵ ，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称.
⑤单调性
由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数.
（3）例题分析
【例1】求函数 的定义域.
解：令 ，那么函数 的定义域是
由 ，可得
所以函数 的定义域是
【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1） 与 ；
（2） 与 .
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函数
∴
（2）∵
又 ∵ ，函数 ， 是增函数，
∴ 即 .
说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决.
3.演练反馈（投影）
（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ）
A. B. C. D.与 值有关
（2） 是 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
参考答案：
（1）C.注： 与 相邻两点之间距离即为周期长
（2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但
（3）①
②
4.总结提炼
（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） 性质.
定义域
值域
周期
奇偶性
单调增区间
对称中心
渐近线方程
奇函数
，
（四）板书设计
课题……
1.用正切线作正切函数图像
2.正切函数的性质
例1
例2
演练反馈
总结提炼
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