4.9 函数 的图像
第一课时
（一）教学具准备
直尺、投影仪.
（二）教学目标
掌握由
（三）教学过程
1.设置情境
函数 （ 、 、 是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移 与时间 的关系，交流电中电流强度 与时间 的关系等，都可用这类函数来表示.我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数 与 的简图的作法学起.（板书课题）—函数 与 的图像.
2.探索研究
（可借助多媒体）
（1）函数 与 的图像的联系
【例1】画出函数 及 （ ）的简图.
解：函数 及 的周期均为 ，我们先作 上的简图.
列表并描点作图（图1）
0
0
1
0
－1
0
0
2
0
－2
0
0
0
0
利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它们的简图.
的图像与 的图像之间有何联系？请一位同学说出 的值域和最值.
生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的. ， 的值域是 ，最大值是2，最小值是－2.
师： 的图像与 的图像有何联系？并请你说出 的值域和最值.
生： 的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍，（横坐标不变）而得到的， ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 .
师：由例1中 、 与 的图像的联系，我们来探求函数 （ 且 ）的图像与 的图像之间的联系.
函数 （ 且 ）的图像可以看做是把 的图像上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 ）到原来的 倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由 的变化而引起的， 叫做函数 的振幅. ， 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 .
（2）函数 与 的图像的联系
【例2】作函数 及 的简图.
解：函数 的周期 ，因此，我们先来作 时函数的简图.
列表：
0
0
0
1
0
－1
0
函数 的周期 ，因此，我们先作 时函数的简图.
列表：
0
0
0
1
0
－1
0
描点作图（图2）
师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出 ， 及 ， 的简图.
请同学们观察函数 与 的图像间的联系及 与 的图像间的联系.
生：在函数 ， 的图像上，横坐标为 （ ）的点的纵坐标同 上横坐标为 的点的纵坐标相等，因此 的图像可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
同样， 的图像可以看做把 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的.
师：由例2中， 、 与 的图像的联系，请你探求函数 （ 且 ）的图像与 之间在联系.
生：函数 （ 且 ）的图像，可以看做是把 的图像上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起的， 与周期 的关系为 .
3.演练反馈（投影）
1.画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图
（1） （2）
2.函数 ， 的周期是什么？它的图像与正弦曲线有什么联系.
3.说明如何由 ；由
参考答案：
1.
2.周期是 ，把 的图像上每个点的横坐标伸长 倍（纵坐标不变）即得 的图像.
3. 的图像沿 轴方向压缩 得 的图像（纵坐标不变）；把 的图像上纵坐标缩短 倍（横坐标不变），即得 的图像.
4.总结提炼
（1）用“五点法”作 或 的简图时，先要确定周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0， ， ， ， ，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点.
（2） 的图像可以看做是把正弦曲线 图像经过振幅变换而得到.
（3）函数 的图像可以看作是把 实施周期变换而得.
（4）作图时，要注意坐标轴刻度， 轴是实数轴，角一律用弧度制.
（四）板书设计
1.函数 与 的图像的联系
例1
联系
2.函数 与 的图像的联系
例2
联系
小结：演练反馈
总结提炼
下学期 4.9函数y=Asin的图象 第2篇
（一）教学具准备
直尺、投影仪.
（二）教学目标
1.掌握由 的变化过程，理解由 到 的变换步骤.
2.利用平移、伸缩变换方法，作函数 图像.
（三）教学过程
1.设置情境
师：上节课，我们学习了如何由 的图像通过变换得到 和 的图像，请同学复述一下变换的具体过程.
生：将 的图像通过振幅变换便得到 的图像
将 的图像通过周期变换就得到 的图像
师：今天这节课，我们将继续学习如何由 的图像通过变换手段分别得到 及 的图像，（板书课题：函数 和 的图像）
2.探索研究
（1）如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例1】画出函数 ， ， ， 的简图
师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数 ， 的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到.
同学们能否用类比的方法由 的图像得到 和 的图像.
生：从 的图像向左平移 个单位长度而得到 ，即 的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度，就可以得到 的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，就可以得到 的图像.
函数 ，
，
，
在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）
师：我们已经学过并且知道 与 图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
生：函数 ， （其中 ）的图像可以看做把 的图像上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换.
（2）如何由 的图像通过变换得到 的图像
【例2】画出函数 ， 的简图.
解：函数 的周期 ，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图.
列表
0
0
3
0
－3
0
描点，连线得图2
利用函数的周期性，我们可以把它在 上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图.（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）
师：函数 ， 的图像，可以看作用下面的方法得到：先将 上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 ， 的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ， 的图像；再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数 ， 的图像.
师：我们已经知道函数 与 是一种延 轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到 与 的图像之间的联系吗？
生：函数 ， （其中 ， ）的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 时）或向右（当 时）平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当 时）或伸长（当 时）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）.
我们小结一下上述步骤如下：
师：其步骤流程图如下：
这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想.
函数 ， （其中 ， ）的简图，可以用类似方法画出.
（3） 、 、 的物理意义
当函数 ， （其中 ， ）表示一个振动量时， 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅.
往复振动一次所需要的时间 ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数 称为振动的频率.
称为相位； 时的相位 称为初相.
3.演练反馈（投影）
（1）要得到函数 图像，只需将 的图像（ ）
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
（2）函数 的一个周期内图像如图3.
则 的表达式
A.
B.
C.
D.
（3）把函数 的图像向左平移 个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的 ，所得的解析式为_________.
参考答案：
（1）C.把 右移 ，得
（2）D.因为 ，又 与 比较知，是其左移 而得，即
（3）变换过程如下：第一步得：
第二步得：
4.总结提炼
（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由 ，此步骤只是平移（ ，左移 个单位； ，右移 个单位），而由 可由二条思路：
① 即先平移后压缩.
② 即先压缩再平移.
不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母 而言的，如， 的图像向右平移 个单位，得到的应是 ，而不是 ；又 的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是 而不是 .
（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧.
（四）板书设计
课题________
1.如何由 的图像
作 的图像
例1
2.如何由 的图像
作 的图像
例2
变换法作 的图像的流程图
演练反馈
总结提炼
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