（第一课时）
一.教学目标
1.理解并掌握实数与向量的积的意义.
2.理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线；
3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
二.教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件；
教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件；
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
生： 的长度是 的长度的3倍，其方向与 的方向相同， 的长度是 长度的3倍，其方向与 的方向相反.
师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一））
2.探索研究
师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考.
生：我想这样规定：实数 与向量 的积就是 ，它还是一个向量.
师：想法很好.不过我们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行.
实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下：
（1）
（2） 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；特别地，当 或 时，
下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律：
师：求作向量 和 （ 为非零向量）并进行比较，向量 与向量 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）
生： ，
师：设 、 为任意向量， ， 为任意实数，则有：
（1） （2） （3）
通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.
请看例题
【例1】计算：（1） ， （2） .
（3）
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式 .
下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.
师：请同学们观察 ， ，有什么关系.
生：因为 ，所以 、 是共线向量.
师：若 、 是共线向量，能否得出 ？为什么，可得出 吗？为什么？
生：可以！因为 、 共线，它们的方向相同或相反.
师：由此可得向量共线的充要条件.向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ，使得
此即教材中的定理.
对此定理的证明，是两层来说明的.
其一，若存在实数 ，使 ，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知 与 共线，即 与 共线.
其二，若 与 共线，且不妨令 ，设 （这是实数概念）.接下来看 、 方向如何：① 、 同向，则 ，②若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 .
【例2】如图：已知 ， ，试判断 与 是否共线.
解：∵
∴ 与 共线.
练习（投影仪）
设 、 是两个不共线向量，已 ， ，若 、 、 三点共线，求 的值.
参考答案
∵ 、 、 三点共线.
∴ 、 共线 存在实数 ，使
即
∴ ，
3.练习反馈（投影仪）
（1）若 为 的对角线交点， ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
（2）在△ 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，那么 .
（3）如图所示，在平行四边形 中， 是 中点，点 是 上一点， 求证 、 、 三点共线.
参考答案：
（1）B； （2） ；
（3）设 ， 则 又 ，∴ ∴ 、 、 共线.
4.总结提炼
（1） 与 的积还是向量， 与 是共线的.
（2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.
五.板书设计
1.实数与向量的积定义
2.运算律
①
②
③
3.向量共线定理
例1
2
演练反馈
总结提炼
下学期 5.3实数与向量的积 第2篇
（第二课时）
一.教学目标
1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用；
2.能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示.
二.教学重点：平面向量基本定理
教学难点：理解平面向量基本定理.
三.教学具准备
直尺、投影仪.
四.教学过程
1.设置情境
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.
2.探索研究
师：向量 与非零向量 共线的充要条件是什么？
生：有且仅有一个实数 ，使得
师：如何作出向量 ？
生：在平面上任取一点 ，作 ， ，则
师：对！我们知道向量 是向量 与 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢？
平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， 使
我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
说明：①实数 ， 的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理.
②对该定理重在使用.
下面看例题
【例1】已知向量 、 ，求作 .
【例2】如图所示， 的两条对角线相交于点 ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？
解：在 中
∵
∴
说明：①这些表示方法很常用，要熟记
②用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，…….
【例3】如图所示，已知 的两条对角线 与 交于 ， 是任意一点，求证
证明：∵ 是对角线 和 的交点
∴ ， .在△ 中，
同理：
相加可得：
注：本题也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中线公式（向量），得 两种表示方式：
①
②
①＋②得 证毕.
【例4】如图所示 、 不共线， （ ），用 ， 表示 .
解 ∵
∴
说明：①本题是个重要题型：设 为平面上任一点.
则： 、 、 三点共线
或令 ， 则 、 、 三点共线 （其中 ）
②当 时， 常称为△ 的中线公式（向量式）.
3.演练反馈
（1）命题 ：向量 与 共线；命题 ：有且只有一个实数 ，使 ；则 是 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
（2）已知 和 不共线，若 与 共线，则实数 的值等于____________.
（3）如图△ 中，点 是 的中点，点 在边 上，且 ， 与 相交于点 ，求 的值.
参考答案：
（1）B （2）
（3）解：（如图）设 ， ，则 ，
，∵ 、 、 和 、 、 分别共线，∴存在 、 ，使 ， .
故 ，而 .
∴由基本定理得 ∴ ∴ ，即
4.总结提炼
（1）当平面内取定一组基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一确定，其含义是存在惟一这数对 ，使 ，则必有 且 .
（2）三点 、 、 共线 （其中 且 ）
五.板书设计
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