难点:两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型,非凡是相离有外离和内含,相切有外切和内切,学生轻易遗漏;而在相交圆的性质应用中,学生轻易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.
2、教法建议
本节内容需要两个课时.第一课时主要研究圆和圆的位置关系;第二课时相交两圆的性质.
(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体,让学生观察、分析、归纳概括,主动获得知识;
(2)要重视圆的对称美的教学,组织学生欣赏,在激发学生的学习爱好中,获得知识,提高能力;
(3)在教学中,以分类思想为指导,以数形结合为方法,贯串整个教学过程.
第一课时 圆和圆的位置关系
教学目标:
1.把握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;
2.通过两圆的位置关系,培养学生的分类能力和数形结合能力;
3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.
教学重点:
两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.
教学难点:
两圆位置关系及判定.
(一)复习、引出问题
1.复习:直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?
(教师主导,学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的
2.引出问题:平面内两个圆,它们作相对运动,将会产生什么样的位置关系呢?
(二)观察、分类,得出概念
1、让学生观察、分析、比较,分别得出两圆:外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系,准确给出描述性定义:
(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图(1))
(2)外切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))
(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3))
(4)内切:两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))
(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6))
2、归纳:
(1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点.
(2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).
教师组织学生归纳,并进一步考虑:从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外,还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?
结论:在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.
(三)分析、研究
1、相切两圆的性质.
让学生观察连心线与切点的关系,分析、研究,得到相切两圆的连心线的性质:
假如两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
这个性质由圆的轴对称性得到,有爱好的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证实
2、两圆位置关系的数量特征.
设两圆半径分别为r和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系,r和d之间有何数量关系.(图形略)
两圆外切 d=r r;
两圆内切 d=rr (r>r);
两圆外离 d>r r;
两圆内含 d
两圆相交 rr 说明:注重“数形结合”思想的教学. (四)应用、练习 例1: 如图,⊙o的半径为5厘米,点p是⊙o外一点,op=8厘米 求:(1)以p为圆心作⊙p与⊙o外切,小圆⊙p的半径是多少? (2)以p为圆心作⊙p与⊙o内切,大圆⊙p的半径是多少? 解:(1)设⊙p与⊙o外切与点a,则 pa=pooa ∴pa=3cm. (2)设⊙p与⊙o内切与点b,则 pb=po ob ∴pb=1 3cm. 例2:已知:如图,△abc中,∠c=90°,ac=12,bc=8,以ac为直径作⊙o,以b为圆心,4为半径作. 求证:⊙o与⊙b相外切. 证实:连结bo,∵ac为⊙o的直径,ac=12, ∴⊙o的半径 ,且o是ac的中点 ∴ ,∵∠c=90°且bc=8, ∴ , ∵⊙o的半径 ,⊙b的半径 , ∴bo= ,∴⊙o与⊙b相外切. 练习(p138) (五)小结 知识:①两圆的五种位置关系:外离、外切、相交、内切、内含; ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系; ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力:观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法:分类思想、数形结合思想. (六)作业 教材p151中习题a组2,3,4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、把握相交两圆的性质定理; 2、把握相交两圆问题中常添的辅助线的作法; 3、通过例题的分析,培养学生分析问题、解决问题的能力; 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证实相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 (一)图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? (二)观察、猜想、证实 1、观察:同样相交两圆,也构成对称图形,它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想:“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证实: 对a层学生让学生写出已知、求证、证实,教师组织;对b、c层在教师引导下完成. 已知:⊙o1和⊙o2相交于a,b. 求证:q1o2是ab的垂直平分线. 分析:要证实o1o2是ab的垂直平分线,只要证实o1o2上的点和线段ab两个端点的距离相等,于是想到连结o1a、o2a、o1b、o2b. 证实:连结o1a、o1b、 o2a、o2b,∵o1a=o1b, ∴o1点在ab的垂直平分线上. 又∵o2a=o2b,∴点o2在ab的垂直平分线上. 因此o1o2是ab的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证实: ∵⊙ol和⊙o2,是轴对称图形,∴直线o1o2是⊙ol和⊙o2的对称轴. ∴⊙ol和⊙o2的公共点a关于直线o1o2的对称点即在⊙ol上又在⊙o2上. ∴a点关于直线o1o2的对称点只能是b点, ∴连心线o1o2是ab的垂直平分线. 定理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注重:相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. (三)应用、反思 例1、已知两个等圆⊙ol和⊙o2相交于a,b两点,⊙ol经o2。 求∠olab的度数. 分析:由所学定理可知,o1o2是ab的垂直平分线, 又⊙o1与⊙o2是两个等圆,因此连结o1o2和ao2,ao1,△o1ao2构成等边三角形,同时可以推证⊙o l和⊙o2构成的图形不仅是以o1o2为对称轴的轴对称图形,同时还是以ab为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠olao2=60°,推得∠olab=30°. 解:⊙o1经过o 2,⊙o1与⊙o2是两个等圆 ∴ola= o1o2= ao2 ∴∠o1a o2=60°, 又ab⊥o1o2 ∴∠olab =30°. 例2、已知,如图,a是⊙o l、⊙o2的一个交点,点p是o1o2的中点。过点a的直线mn垂直于pa,交⊙o l、⊙o2于m、n。 求证:am=an. 证实:过点ol、o2分别作olc⊥mn、o2d⊥mn,垂足为c、d,则olc∥pa∥o2d,且ac= am,ad= an. ∵olp= o2p ,∴ad=am,∴am=an. 例3、已知:如图,⊙ol与⊙o2相交于a、b两点,c为⊙ol上一点,ac交⊙o2于d,过b作直线ef交⊙ol、⊙o2于e、f. 求证:ec∥df 证实:连结ab ∵在⊙o2中∠f=∠cab, 在⊙ol中∠cab=∠e, ∴∠f=∠e,∴ec∥df. 反思:在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦,或连结交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,圆心距集中到一个三角形中,运用三角形有关知识来解,或者结合相交弦定理,圆周角定理综合分析求解. (四)小结 知识:相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证实两线垂直或证实线段相等的依据. 能力与方法:①在解决两圆相交的问题中经常需要作出两圆的公共弦作为辅助线,使两圆中的角或线段建立联系,为证题创造条件,起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用. (五)作业 教材p152习题a组7、8、9题;b组1题. 探究活动 问题1:已知ab是⊙o的直径,点o1、o2、…、on在线段ab上,分别以o1、o2、…、on为圆心作圆,使⊙o1与⊙o内切,⊙o2与⊙o1外切,⊙o3与⊙o2外切,…,⊙on与⊙on1外切且与⊙o内切.设⊙o的周长等于c,⊙o1、⊙o2、…、⊙on的周长分别为c1、c2、…、cn. (1)当n=2时,判定cl c2与c的大小关系; (2)当n=3时,判定cl c2 c3与c的大小关系; (3)当n取大于3的任一自然数时,cl十c2十…十cn与c的大小关系怎样?证实你的结论. 提示:假设⊙o、⊙o1、⊙o2、…、⊙on的半径分别为r、rl、r2、…、rn,通过周长计算,比较可得(1)cl c2=c;(2)cl c2 c3=c;(3)cl十c2十…十cn=c. 问题2:有八个同等大小的圆形,其中七个有阴影的圆形都固定不动,第八个圆形,紧贴另外七个无滑动地滚动,当它绕完这些固定不动的圆形一周,本身将旋转了多少转? 提示:1、实验:用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转. 2、分析:当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时,这个动圆是转 转,但是,这个动圆是沿着弧线滚动,那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中,那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候,一共走过的不是 转;而是 转,因此,它绕过六个这样的弧形的时 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成. 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B. 求证：Q1O2是AB的垂直平分线. 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上. 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上. 因此O1O2是AB的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴. ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上. ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°. 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°. 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN. ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN. 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F. 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据. 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用. （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题. 探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn. (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论. 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C. 问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？ 提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成. 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B. 求证：Q1O2是AB的垂直平分线. 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上. 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上. 因此O1O2是AB的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴. ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上. ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°. 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°. 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN. ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN. 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F. 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据. 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用. （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题. 探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn. (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论. 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C. 问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？ 提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第 1 2 页 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成. 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B. 求证：Q1O2是AB的垂直平分线. 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上. 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上. 因此O1O2是AB的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴. ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上. ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°. 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°. 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN. ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN. 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F. 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据. 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用. （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题. 探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn. (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论. 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C. 问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？ 提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成. 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B. 求证：Q1O2是AB的垂直平分线. 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上. 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上. 因此O1O2是AB的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴. ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上. ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°. 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°. 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN. ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN. 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F. 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据. 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用. （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题. 探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn. (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论. 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C. 问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？ 提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 教学目标：1、使学生掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦这一性质，2、通过例题与练习题的教学使学生进一步巩固圆和圆的位置关系及本节所学习的性质.3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力.教学重点： 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.教学难点：利用轴对称来证明相交两圆连心线的性质及两圆相交常用的引辅助线的方法是本节课的难点.教学过程：一、新课引入：同学们，上节课我们学习了在同一平面内圆和圆的位置关系及相切两圆的连心线的性质.本节课我们在相切两圆连心线的性质的基础上，继续来学习相交两圆连心线的性质.教师出示板书：“7.13圆和圆的位置关系(二)”.如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.那么将相切改成相交，这时连心线又有什么性质呢？教师这样做有意识留给学生一种悬念，提示给学生能否用类比的方法去探索出结论.二、新课讲解：为了使学生进一步来学习相交两圆连心线的性质.向学生提出以下几个问题：(1)在平面内圆和圆有几种位置关系？(2)要判定圆和圆的位置关系你学过了什么方法？(3)相切两圆连心线有什么性质？(4)如果把相切改成相交，那么连心线又有怎样的性质呢？教师引导学生能够准确地回答上节课所学习的知识点，把本节课所要讲的内容也抛给学生，启发学生去画图——观察——思考——分析——比较——探索出结论.为了便于思考，教师把学生探索出的结论写在黑板上：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦：分析：设⊙o1与⊙o2相交于点a、b，o1o2既是⊙o1的对称轴，又是⊙o2的对称轴，所以直线o1o2是⊙o1、⊙o2所组成的图形的对称轴，将图形沿o1o2折叠，上、下两个半圆互相重合，它们的交点重合，所以点a与点b是对称点.这就得到对称点a、b的连线被对称轴o1o2垂直平分.由此可得：定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 为了使学生能够更好地应用相交两圆连心线的性质和相切两圆连心线的性质，出示两组练习题：练习一，判断下列语句是否正确：1.两圆的连心线过切点，两圆一定是内切. ( )2.相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. ( )3.相切两圆的连心线必过切点. ( )这组题的目的是强化学生对相切两圆、相交两圆的性质的掌握，要求语言叙述准确而规范.练习二，(1)图7-99，已知两个等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，求圆心距. 本小题由学生回答，教师概括总结方法.因为o1o2垂直平分ab，交ab于e，所以可得到由一条半径和弦的一半构成的直角三角形，用勾股定理就得到o2e，从而得到o1o2的长.(2)书上的例2已知两个等圆⊙o1和⊙o2相交于a、b两点.⊙o1经过点o2.求∠o1ab的度数.由于通过分析上题学生已初步掌握构造直角三角形方法求解，对于此题可以说是上一题的特殊情况.教师为了不代替学生，让学生参与到教学活动中，启发学生分析解题思路，指导学生上黑板板演，就把例2做为练习题出现. (3)如图7-101，⊙o2与以o1为圆心的同心圆相交于a、b、c、d.求证：四边形abcd是等腰梯形. 分析：欲证明四边形abcd是等腰梯形，只需证明ab∥cd，ad=bc且ab≠cd即可.这时，教师提出怎样证明ab∥cd呢？由学生来分析证明弦ab∥cd.总结出相交两圆经常引的辅助线是公共弦，有时还可以引连心线.找一名中等生证明这道题，教师把证明过程写在黑板上，做为参考.证明：连结o1o2，∵ ⊙o2与以o1为圆心的圆相交于a、b、c、d，∴ ab⊥o1o2，dc⊥o1o2.∴ ab∥cd.在⊙o2中，∵ab∥cd，又∵ ab≠cd，∴ 四边形abcd是等腰梯形.接下来投影出示例3已知：如图7-102，a是⊙o1、⊙o2的一个交点，点p是o1o2的中点.如果过a的直线mn垂直于pa，交⊙o1于m，交⊙o2于n.那么am与an有什么关系呢？ 教师对例3的处理不是直接给出证明，而是给出命题的题设，启发学生探索能得到什么结论.这样做一方面调动学生的积极性和主动性；另一方面考察学生的思维灵活性和深刻性.由学生猜想的结论出发，进一步引导学生证明你的结论是否正确，最后由教师概括出证明的分析思路.是o1o2中点，由平行线等分线段定理可得ac=ad，而得结论.证明：过点o1、o2分别作o1c⊥mn，o2d⊥mn，垂足为c、d，又 ∵ pa⊥mn，∴ pa∥o1c∥o2d，∵o1p=o2p，∴ ac=ad.∴ am=an.巩固练习：第139页2题.三、课堂小结：本节课主要讲了相交两圆连心线垂直两圆的公共弦的性质.投影出示本节的知识结构图：本节课学到的方法：两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形.四、布置作业教材p.152中a组5、6、7、8、9. 在本节课的授课中，我感觉以下几点比较满意： 1、课件教学中在探索圆和圆的位置关系、探索两圆相切时的对称性、探索两圆相切时圆心距d和两圆半径R和r的数量关系时多次运用flash动画展示，给学生以直观感受，便于学生理解，同时，增加上课的生动性。 2、授课方式采用分组教学，对课程内容提出问题后先要学生在小组内动手交流并整理所获得的信息内容，然后在课堂上展示组内成果，从而调动起学生的学习积极性。 3、对练习题的设计由浅入深、层层递进，突出本节课的重点、突破了难点。 4、授课中贯穿了观察、猜想、验证等过程，使学生经历了知识的探索过程，“过程与方法”的目标落实比较好。 但在本节课中还存在许多不足之处，主要在以下几方面： 1、在学生分组活动中，个别学生不能参与进来，今后教学应该多加关注学困生。 2、教学语言应该注意更加规范。 3、在学生回答问题时，不应该只关注回答结果，也应该关注学生所表现出来的态度，用恰当的语言给予肯定和鼓励，使不同层次的学生获得不同的成功体验，从而增强自信心，激发学生的学习兴趣。 4、本节课应该再加大练习量，进一步落实“知识与技能”的目标。 本次课初备时,我校全体数学教师在一起研讨,杨玉芬老师对我的授课过程中,学生作品展示提出很好的建议:在没有实物投影的情况下,让学生通过粘贴可以解决这一问题。申卫青教师对我的授课程序进行调节指导。李秀捧老师对学生的探讨问题进行进一步设计…… 初备方案发布于网上，又得到教研员王老师、风帆郝老师、列电张老师、我校杨老师、马坊杨老师等多位老师的指导点评，我又在此基础上对方案进一步加工。 授课后，各位教师直述己见，让我认识到自己需要继续努力. 通过这次活动，使我更注意到学生的活动和参与情况,给学生充分的时间,把主动权交给学生,自己只是课程的设计者，在授课时适时引导，使尽可能多的学生真正参与进来，可以采取小组之间竞争评比打分以提高学生的注意力、合作交流、积极发言等各方面的参与情况。当学生回答问题后，无论回答的结果如何，要进行不同程度的关注：对回答结果清晰、正确者给予鼓励；对回答不准确或不正确者,在其他学生纠正的同时也要给予积极参与、回答问题积极方面的鼓励，使不同层次的同学都体会成功的喜悦、参与的必要。 在问题的设计上，一要根据学生的实际情况设计问题，问题难度由浅入深、层层递进，既要有梯度又要给学生留有思考的空间。二要考虑到题量的适度，加大练习量，更好地落实知识与技能目标。 在授课时，更要注重数学语言的规范运用，加强学习，进一步充实自己的教学经验。 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识. 难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题. 2、教法建议 本节内容需要两个课时.第一课时主要研究圆和圆的位置关系；第二课时相交两圆的性质. （1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识； （2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力； （3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程. 第一课时 圆和圆的位置关系 教学目标： 1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力. 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系. 教学难点： 两圆位置关系及判定. （一）复习、引出问题 1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1)) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2)) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3)) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4)) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6)) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点. (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切). 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系. （三）分析、研究 1、相切两圆的性质. 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征. 设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.（图形略） 两圆外切 d＝R+r； 两圆内切 d＝R-r (R＞r); 两圆外离 d＞R+r； 两圆内含 d＜R-r(R＞r); 两圆相交 R-r＜d＜R+r. 说明：注重“数形结合”思想的教学. （四）应用、练习 例1： 如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少? 解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则 PA=PO-OA ∴PA=3cm. （2）设⊙P与⊙O内切与点B，则 PB=PO+OB ∴PB=1 3cm. 例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作. 求证：⊙O与⊙B相外切. 证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12， ∴⊙O的半径 ，且O是AC的中点 ∴ ，∵∠C=90°且BC=8， ∴ ， ∵⊙O的半径 ，⊙B的半径 ， ∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切. 练习(P138) （五）小结 知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； ②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； ③两圆相切时切点在连心线上的性质. 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力. 思想方法：分类思想、数形结合思想. （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题. 第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美. 教学重点 相交两圆的性质及应用. 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线. 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形. 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”. 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成. 已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B. 求证：Q1O2是AB的垂直平分线. 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B. 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B， ∴O1点在AB的垂直平分线上. 又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上. 因此O1O2是AB的垂直平分线. 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： ∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴. ∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上. ∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， ∴连心线O1O2是AB的垂直平分线. 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线. （三）应用、反思 例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。 求∠OlAB的度数. 分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线， 又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由 ∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°. 解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆 ∴OlA=O1O2=AO2 ∴∠O1A O2=60°， 又AB⊥O1O2 ∴∠OlAB =30°. 例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。 求证：AM=AN. 证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN. ∵OlP=O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN. 例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F. 求证：EC∥DF 证明：连结AB ∵在⊙O2中∠F=∠CAB， 在⊙Ol中∠CAB=∠E， ∴∠F=∠E，∴EC∥DF. 反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解. （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据. 能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用. （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题. 探究活动 问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn. (1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系； (2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系； (3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论. 提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C. 问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？ 提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转. 2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的 的弧线旋转的时候，一共走过的不是 转；而是 转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了 转 毛成胜教 材： 华师大版第九册23章2.4圆与圆的位置关系P60~62 教学目的要求： 知识目标：1、了解圆和圆五种位置的定义， 2、熟练掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系 能力目标：培养学生的观察、想象、分析、动手操作、概括的能力，“分类讨论”的数学思想， 情感目标：利用多种教学手段来激发学生学习的兴趣，通过鼓励和肯定学生，培养他们敢于 想象，勇于探索的学习精神。 教学重点：用数量关系来识别圆与圆的位置关系 教学难点：用数量关系来识别圆与圆的位置关系 教学用具：多媒体 教学方法：问题、引导、直观演示、总结 学法指导：猜想、类比、观察、归纳、实验探究、合作交流 教学过程： 更多优质教案课件请关注微信公众号(本站右侧),找素材就来“鲸罗书馆”。上传您的稿件，人人都是创作者！圆和圆的位置关系 第2篇
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