当图7-79三个图形都出现后，教师指出，当p点重合于圆心o时，是两条直径的相交弦，结论是显然的，并且没有因为位置上的变化而发生形式上的变化.我们不研究这种情形，然后指导学生观察图7-79(3)，这种特殊的位置：弦与直径垂直相交，会给相交弦定理带来怎样形式上的改变呢？最终指导学生完成相交弦定理的推论及证明.1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等.2.如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.相交弦定理及其推论是和圆有关的比例线段中的两个数量关系式，在今后学习中有着重要的意义，教师必须严格要求学生独立完成定理的证明，加深对定理的理解.练习一，p.126中1.如图7-80，ap=3cm，pb=5cm，cp=2.5cm，求cd.(答案：8.5cm)
练习二，教材p.126中2，如图7-81，o是圆心，op⊥ab， ap=4cm，pd=2cm.求op.(答案：3cm)
此两题是直接运用定理或推论.p.125例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长.分析，这是一道利用相交弦定理的计算题，由于无图对照，在叙述时务必讲清第几条弦，在由相交弦定理列出方程后，解一元二次方程只作为其中一个步骤.做答案时要特别注意，对x1、x2的解释，以防止最终出现两解.解法参照教材p.126.p126例2 已知：线段a、b求作：线端 c，使c2=ab
分析题目，可将三条线段的数量关系转化为相交弦定理的推论.若线段c作出来，它将与线段a、b在圆中构成弦与直径垂直相交的位置关系.这时学生对作法心中有数，最终教师指导学生完成作图.作法参照教材p.126.三、课堂小结：指导学生阅读教材p.125—p.126.培养学生的读书习惯，并总结出本课的主要内容：1.相交弦定理及其推论是圆中重要的比例线段，它反映了圆中两条相交弦的数量关系.推论是定理的特殊情形.二者只是形式上的不同，实质上都是一样的.需要指出的是相交弦定理涉及到四条线段，而它的推论涉及到三条线段.2.本节例1是利用相交弦定理进行计算，它是圆的有关计算题的重要部分.3.本节例2是运用相交弦定理的推论作图题，这是初中阶段务必要掌握的作图题之一，务必向学生讲清.四、布置作业1.教材p.132中9；p.133中14
和圆有关的比例线段 第2篇
教学建议
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证实.
难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生轻易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.
(1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;
(2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证实——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.
第1课时:相交弦定理
教学目标:
1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证实和计算;
2.学会作两条已知线段的比例中项;
3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;
4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到非凡的思想方法.
教学重点:
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点:
在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证实中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
(一)设置学习情境
1、图形变换:(利用电脑使ab与cd弦变动)
①引导学生观察图形,发现规律:∠a=∠d,∠c=∠b.
②进一步得出:△apc∽△dpb.
.
③假如将图形做些变换,去掉ac和bd,图中线段 pa,pb,pc,po之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察,并回答.
2、证实:
已知:弦ab和cd交于⊙o内一点p.
求证:pa·pb=pc·pd.
(a层学生要练习学生写出已知、求证、证实;b、c层学生在老师引导下完成)
(证实略)
(二)定理及推论
1、相交弦定理: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙o中;弦ab,cd相交于点p,那么pa·pb=pc·pd.
2、从一般到非凡,发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互 相垂直如图,ab是直径,并且ab⊥cd于p.
提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?
指出:pc2=pa·pb.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来,假如叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.
推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点c向直径ab作垂线,垂足是p,则pc2=pa·pb.
若再连结ac,bc,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:
pc2=pa·pb ;ac2=ap·ab;cb2=bp·ab
(三)应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知:线段a,b.
求作:线段c,使c2=ab.
分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.
作法:口述作法.
反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图,ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp=1厘米,求cd.
变式练习:若ap=2厘米,pb=2.5厘米,cp,dp的长度皆为整数.那么cd的长度是 多少?
将条件隐化,增加难度,提高学生学习爱好
练习2 如图,cd是⊙o的直径,ab⊥cd,垂足为p,ap=4厘米,pd=2厘米.求po的长.
练习3 如图:在⊙o中,p是弦ab上一点,op⊥pc,pc 交⊙o于c. 求证:pc2=pa·pb
引导学生分析:由ap·pb,联想到相交弦定理,于是想到延长 cp交⊙o于d,于是有pc·pd=pa·pb.又根据条件op⊥pc.易 证得pc=pd问题得证.
(四)小结
知识:相交弦定理及其推论;
能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
思想方法:学习了由一般到非凡(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
(五)作业
教材p132中 9,10;p134中b组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标:
1.把握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证实;
2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点:
理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点:
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
(一)提出问题
1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.假如两弦延长交于圆外一点p,那么该点到割线与圆交点的四条线段pa,pb,pc,pd的长之间有什么关系?(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长pa,pb,pt之间又有什么关系?
2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段pt,pa,pb间的关系为pt2=pa·pb.
3、证实:
让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证实猜想.
分析:要证pt2=pa·pb, 可以证实,为此可证以 pa·pt为边的三角形与以pt,bp为边的三角形相似,于是考虑作辅助线tp,pb.(图3).轻易证实∠pta=∠b又∠p=∠p,因此△bpt∽△tpa,于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(二)切割线定理的推论
1、再提出问题:当pb、pd为两条割线时,线段pa,pb,pc,pd之间有什么关系?
观察图4,提出猜想:pa·pb=pc·pd.
2、组织学生用多种方法证实:
方法一:要证pa·pb=pc·pd,可证此可证以pa,pc为边的三角形和以pd,pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ac,bd,轻易证实∠pac=∠d,∠p=∠p,因此△pac∽△pdb. (如图4)
方法二:要证,还可考虑证实以pa,pd为边的三角形和以pc、pb为边的三角形相似,所以考虑作辅助线ad、cb.轻易证实∠b=∠d,又∠p=∠p. 因此△pad∽△pcb.(如图5)
方法三:引导学生再次观察图2,立即会发现.pt2=pa·pb,同时pt2=pc·pd,于是可以得出pa·pb=pc·pd.pa·pb=pc·pd
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
(三)初步应用
例1 已知:如图6,⊙o的割线pab交⊙o于点a和b,pa=6厘米,ab=8厘米, po=10.9厘米,求⊙o的半径.
分析:由于po既不是⊙o的切线也不是割线,故须将po延长交⊙o于d,构成了圆的一条割线,而od又恰好是⊙o的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.
(解略)教师示范解题.
例2 已知如图7,线段ab和⊙o交于点c,d,ac=bd,ae,bf分别切⊙o于点e,f,
求证:ae=bf.
分析:要证实的两条线段ae,bf均与⊙o相切,且从a、b 两点出发引的割线acd和bdc在同一直线上,且ac=bd,ad=bc. 因此它们的积相等,问题得证.
学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如ae2=ac·cd和bf2=bd·dc等.
巩固练习:p128练习1、2题
(四)小结
知识:切割线定理及推论;
能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;
方法:在证实切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注重很好地把握.
(五)作业教材p132中,11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足球门宽7.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.ab是足球门,点p是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向p上方或下方移动,视角都变小,因此点p实际上是过a、b且与边线相切的圆的切点,如图1所示.即op是圆的切线,而ob是圆的割线.
故 ,又 ,
ob=30.34 7.32=37.66.
op= (米).
注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△bop可为任意角.
和圆有关的比例线段 第3篇
教学目标：1、使学生理解切割线定理及其推论；2、使学生初步学会运用切割线定理及其推论.3、通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力；4、通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力.在上节我们曾经学到相交弦定理及其推论，它反映了圆中两弦的数量关系；我们可以用同样的方法来研究圆的一条切线和一条割线的数量关系.教学重点： 使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.教学难点：学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难.教学过程：一、新课引入：我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段.二、新课讲解：现在请同学们在练习本上画⊙o，在⊙o外一点p引⊙o的切线pt，切点为t，割线pba，以点p、b、a、t为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙o的切线pt和割线pba，后研究讨论一下.学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师打开计算机或幻灯机用动画演示.最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论.1.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.关系式：pt2=pa·pb
2.切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线.这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.数量关系式：pa·pb=pc·pb.
切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难.练习一，p.128中1、选择题：如图7-86，⊙o的两条弦ab、cd相交于点e，ac和db的延长线交于点p，下列结论成立的是 [ ]
a.pc·ca=pb·bdb.ce·ae=be·edc.ce·cd=be·bad.pb·pd=pc·pa答案：(d)，直接运用和圆有关的比例线段进行选择.练习二，p.128中2、如图7-87，已知：rt△abc的两条直角边ac、bc的长分别为3cm、4cm，以ac为直径作圆与斜边ab交于点d，求bd的长.
此题已知rt△abc中的边ac、bc，则ab可知.容易证出bc切⊙o于c，于是产生切割线定理，bd可求.练习三，p.128中3.如图7-88，线段ab和⊙o交于c、d，ac=bd，ae、bf分别切⊙o于e、f.求证：ae=bf.
本题可直接运用切割线定理.例3 p.127，如图7-89，已知：⊙o的割线pab交⊙o于点a和b，pa=6cm，ab=8cm，po=10.9cm.求⊙o的半径.
此题要通过计算得到⊙o的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长po与圆交于另一点，则可产生切割线定理的推论，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，从而由等式中求出半径.必须使学生清楚这种数学思想方法，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，则关系式中必有两条线段是半径的代数式构成，只要解关于半径的一元二次方程即可.解：设⊙o的半径为r，po和它的长延长线交⊙o于c、d.(10.9-r)(10.9+r)=6×14r=5.9(取正数解)答：⊙o的半径为5.9.三、课堂小结：为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材p.127—p.128.总结出本课主要内容：1.切割线定理及其推论：它是圆的重要比例线段，它反映的是圆的切线和割线所产生的数量关系.需要指出的是，只有从圆外一点，才可能产生切割线定理或推论.切割线定理是指一条切线和一条割线；推论是指两条割线，只有使学生弄清前提，才能正确运用定理.2.通过对例3的分析，我们应该掌握这类问题的思想方法，掌握规律、运用规律.四、布置作业：1.教材 p.132中10；2.p.132中11.
和圆有关的比例线段 第4篇
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2.学会作两条已知线段的比例中项；
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PA·PB＝PC·PD.
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB.
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2＝ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC＝PD问题得证.
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
（五）作业
教材P132中 9，10；P134中B组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.
分析：要证PT2=PA·PB， 可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
（解略）教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
（五）作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32＝37.66.
OP=(米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.
和圆有关的比例线段 第5篇
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2.学会作两条已知线段的比例中项；
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PA·PB＝PC·PD.
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB.
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2＝ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC＝PD问题得证.
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
（五）作业
教材P132中 9，10；P134中B组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.
分析：要证PT2=PA·PB， 可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
（解略）教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
（五）作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32＝37.66.
OP= (米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.
和圆有关的比例线段 第6篇
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2.学会作两条已知线段的比例中项；
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PA·PB＝PC·PD.
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB.
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2＝ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC＝PD问题得证.
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
（五）作业
教材P132中 9，10；P134中B组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.
分析：要证PT2=PA·PB， 可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
（解略）教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
（五）作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32＝37.66.
OP= (米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.
和圆有关的比例线段 第7篇
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2.学会作两条已知线段的比例中项；
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PA·PB＝PC·PD.
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB.
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2＝ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC＝PD问题得证.
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
（五）作业
教材P132中 9，10；P134中B组4(1).
第2课时 切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想.
分析：要证PT2=PA·PB， 可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD.PA·PB=PC·PD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
（解略）教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等.
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
（五）作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解 如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故 ，又 ，
OB=30.34+7.32＝37.66.
OP=(米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.
和圆有关的比例线段 第8篇
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2.学会作两条已知线段的比例中项；
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法.
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PA·PB＝PC·PD.
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB.
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB ；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2＝ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP＝1厘米，求CD.
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是 多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C. 求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB.又根据条件OP⊥PC.易 证得PC＝PD问题得证.
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
（五）作业
教材P132中 9，10；P134中B组4(1).
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和圆有关的比例线段 第9篇
教学目标：1、使学生能在证题或计算中熟练应用和圆有关的比线段.2、培养学生对知识的综合运用.3、训练学生注意新旧知识的结合，不断提高综合运用知识的能力；4、学会分析一些基本图形的结构及其所具有的关系式；5、善于总结一些常见类型的题目的解法和常用的添加辅助线的方法.教学重点： 指导学生分析好题目，找出正确的解题思路.教学难点：将和圆有关的比例线段结合原有知识的过程中，学生的分析不到位，很容易对题目产生无从入手的感觉.教学过程：一、新课引入：我们已经学习了和圆有关的比例线段，现在我们将综合这一部分知识，结合原有知识解决一些几何问题. 在证明线段相等、角相等、线段成比例等问题中，相交弦定理和切割线定理同切线长定理、弦切角定理一样重要.这两个定理并不难掌握，由于习题的综合性，故对于一些知识点较多、运用知识较灵活的习题中，大家证起来往往感到困难，因此除了复习好原有知识外，更重要的是搞好题目分析，这是证题关键.就本课p.129例4，指导学生搞好题目分析，并完成证明.二、新课讲解：p.129例4如图7-90，两个以o为圆心的同心圆，ab切大圆于b，ac切小圆于c，交大圆于d、e.ab=12，ao=15，ad=8.求：两圆的半径.
分析：题目要求的圆半径显然应该连结过切点的半径ob、oc.由切线的性质知∠abo=∠aco=rt∠，因此ob，oc分别是rt△的一边，利用勾股定理计算是最直接了当的了.(1)在rt△abo中，已知ab、ao，故bo可求.(2)oc在rt△aco中，仅知道ao的长，必须得求出ac，才可以求oc.ac是大⊙o的割线ade的一部分.ac=ad=dc，ad已知，只所以应该先求ae.在大⊙o中，由切割线定理：ab2=ad·ae，ae可求，则dc可求，ac可求，从而oc可求.解：连结ob、oc.练习一，p.130中1、如图7-91，p为⊙o外一点，op与⊙o交于点a，割线pbc与⊙o交于点b、c，且pb=bc.如图oa=7，pa=2，求pc的长.
此题中op经过圆心o，属于切割线定理的一种基本图形.辅助线是延长po交⊙o于d，由于半径oa已知，所以pd已知，而已知pb=bc，则由切割线定理的推论，可先求出pb，pc亦可求.解：延长po交⊙o于d.pbc、pad都是⊙o的割线pb·2pb=2×16pc=8练习二，p.130中2.已知：如图7-92，⊙o和⊙o′都经过a和b，pq切⊙o于p，交⊙o′于q、m，交ab的延长线于n.求证：pn2=nm·nq.
观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，np是⊙o的切线，nmq是⊙o′的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线nba.具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件.练习三，如图7-93，四边形abcd内接于⊙o，ab长7cm，cd=10cm，ad∶bc=1∶2，延长ba、cd相交于e，从e引圆的切线ef.求ef的长.
此题中ef是⊙o的切线，由切割线定理：ef2=ed·ec=ea·eb，故要求ef的长，须知ed或ea的长，而四边形abcd内接于⊙o，可eb长为2x，应用割线定理，可求得x，于是ef可求.证明：四边形abcd内接于⊙o△ead∽△ecbeb=2(x+10)=(2x-7)·2=8ef2=8×(8+10)ef=12答：ef长为12cm.三、课堂小结：让学生阅读p.129例4，并就本节内容总结出以下几点：1.要经常复习学过的知识，把新旧知识结合起来，不断提高综合运用知识的能力.2.学习例题时，不要就题论题，而是注重研究思路、体会和掌握方法，学会分析问题和解决问题的一般方法.3.学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式.4.总结规律：本课练习3以方程的思想方法为指导，利用代数方法，即通过方程或方程组的求解解决所求问题，设未知数时，可直接或间接设，本题属于间接设.列方程或方程组时，寻求已知量与未知量之间的关系.而几何定理是列方程的根据.本题方程是根据割线定理列出.四、布置作业：1.教材p133中12、13. 2. p.133至p.134中1、2、3、4、5.
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