2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3.疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1.如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法：指导发现探索法.
2.学生学法：自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3.疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .
.
若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .
引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜边 ，
∴ ， .
， .
（2） ， .
，
∴ ， .
学生练习教材P6～7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
， ， .
， ， .
【例2】求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1） .
（2） .
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
（5）若 ，则锐角 .
（6）若 ，则锐角 .
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （ 为锐角）.
还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
补充：（1）若 ，则锐角 .
（2）若 ，则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第2篇
教学建议
1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3.疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1.如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法：指导发现探索法.
2.学生学法：自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3.疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .
.
若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .
引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜边 ，
∴ ， .
， .
（2） ， .
，
∴ ， .
学生练习教材P6～7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
， ， .
， ， .
【例2】求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1） .
（2） .
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
（5）若 ，则锐角 .
（6）若 ，则锐角 .
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （ 为锐角）.
还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
补充：（1）若 ，则锐角 .
（2）若 ，则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第3篇
教学建议
1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sina,cosa来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当 确定时,包含 的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin 和cos这样的符号.
应当注重:单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如 ),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如 ).真正理解并把握这些,才真正把握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会熟悉任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练把握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如, 如图所示,若 ,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,abcd是梯形, ,作 , 我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.非凡角的正弦、余弦值既轻易导出,也便于记忆,应当熟悉把握它们.
利用勾股定理,很轻易求出含有 或 角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当 时,边 与ac重合(即 ),所以
当 时,边ab与cb重合(即ab=cb),ac的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
0
1
1
0
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习爱好,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的预备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量,并引导学生得出规律: ,再进一步对含 的三角板进行度量,在探索同样的内容时,要用到勾股定理,又类似地得到,所有的这种等腰直角三角形中,都会得到 ,这时,应当即给出 的正弦的定义及符号,即 ,再对照图形,分别用a、b、c表示 、 、 的对边,得出 及 , 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义,应充分利用课本中这种简练的处理手段,使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中,突出了它的几何特点,但这只是从知识的系统性方面讲的,使它与几何前后知识可关系更紧密,便于学生理解和把握,并没有改变它形数结合的本质,因此教学中要充分利用这部分教材,帮助学生把握用代数方法解决几何问题的方法,提高在几何问题中注重运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法:引导发现和探索研究相结合,尝试成功教法。
2.学生学法:在教师的指导下,积极思维,相互讨论,动手感知,探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论。
3.疑点:无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法:教师引导学生比较、分析、讨论,解决重难点和疑点。
四、教具预备
自制投影片,一副三角板
五、教学步骤
(一)明确目标
1.如图,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则 、 间距离为多少米?
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上,则 、 间的距离为多少?
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上,则 、 间距离为多少?
4.若长5米的梯子靠在墙上,使 、 间距离为2米,则倾斜角为多少度?
前两个问题学生很轻易回答,这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识,但后两个问题的设计却使学生感到迷惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习爱好的作用,同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
(二)整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值,程度较好的学生还会想到,以后在这些非凡直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形,并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值,学生又兴奋地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的,大部分学生可能会想到,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?
这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知。
(三)教学过程
1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”,但是怎样证实这个命题呢?学生这时的思维很活跃,对于这个问题,部分学生可能能解决它,因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成。
2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点 , , 重合在一起,记作 ,并使直角边 , , ……落在同一条直线上,则斜边 , , ……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证实:易知, ……,∴ ∽ ∽ ∽……,∴ , ,因此,在这些直角三角形中, 的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。
通过引导,使学生自己独立把握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习:教科书p3练习。此题为 作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
(四)总结、扩展
1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证实,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。
2.扩展:当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,假如知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有爱好的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的爱好。
六、布置作业
本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比;熟记非凡角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法:指导发现探索法.
2.学生学法:自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点:用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
3.疑点:锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法:通过旧知创设情境,采用从非凡到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.
四、教具预备
三角板一副
五、教学步骤
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
(二)整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时,它的对边与斜边的比值为 ,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习爱好,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:在 中, 为直角,我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦,记作 ,锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦,记作 .
.
若把 的对边 记作 ,邻边 记作 ,斜边 记作 ,则 , .
引导学生思考:当 为锐角时, 、 的值会在什么范围内?得结论 , ( 为锐角),这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“ 、 ”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
例1求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解:(1)∵斜边 ,
∴ , .
, .
(2) , .
,
∴ , .
学生练习教材p6~7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对非凡角三角函数值印象很深刻.
, , .
, , .
例2求下列各式的值:
(1) ;(2) .
解:(1) .
(2) .
这了使学生熟练把握非凡角三角函数值,这里还应安排六个小题:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
(5)若 ,则锐角 .
(6)若 ,则锐角 .
在确定每个学生都牢记非凡角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察非凡角的正弦和余弦值,猜测一下, 大概在什么范围内, 呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注重力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神,还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值,知道任意锐角a的正、余弦值都在0~1之间,即
, ( 为锐角).
还发现 的两锐角 、 , , ,正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材p10中2,3.
预习下一课内容.
补充:(1)若 ,则锐角 .
(2)若 ,则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第4篇
教学建议
1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
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正弦和余弦 第5篇
教学建议
1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3.疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1.如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法：指导发现探索法.
2.学生学法：自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3.疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .
.
若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .
引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜边 ，
∴ ， .
， .
（2） ， .
，
∴ ， .
学生练习教材P6～7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
， ， .
， ， .
【例2】求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1） .
（2） .
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
（5）若 ，则锐角 .
（6）若 ，则锐角 .
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （ 为锐角）.
还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
补充：（1）若 ，则锐角 .
（2）若 ，则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第6篇
[课 题] §6.1 正弦和余弦（1）[教学目的] 使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一条边或一个锐角），求这个直角三角形的其他元素（直角除外）；使学生了解下列事实：在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。[教学重点] 已知直角三角形的一条边和另一个元素（一条边或一个锐角），求这个直角三角形的其他元素。[教学难点] 在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。[教学关键] 在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。。[教学用具] 三角板、小黑板。[教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1[教学过程][复习提问] 1、什么叫做直角三角形？2、如果直角三角形△ABC中，∠C为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可以用什么符号来表示？3、对于一个直角三角形来说，除了一个内角是直角外，还有两个内角是锐角，有三条边，在这除了直角以外的5个“元素”中，已知几个“元素”，通过什么可以求出未知的其他“元素”？[讲解新课]一、让学生阅读教科书第1页上的插图和引例（时间3分钟），然后提问：1、这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可到达。）2、把这个实际问题化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形。）3、能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。）4、想想看，除了测量、作图或画图等方法外，我们还学过哪些方法？（计算与证明。）5、这个实际问题可以归结为怎样一个数学问题？（在Rt△ABC中，∠C为直角，已知锐角A和斜边AB，求∠A的对边BC。）这时指出，由于∠A不一定是特殊角，我们难以运用学过的定理来证明BC的长度。因此在下面考虑能不能通过式子变形和计算来求得BC的值。这就是我们在这一章中要学习的一项新知识。二、让学生阅读教科书第2页至第3页第3行的内容，要求一边阅读，一边观察自己随身携带的两块三角板（时间5分钟），然后提问：1、（出示自己带来的教具之一——不等腰的那把本制三角板）在这把三角板中，30°角所对的直角边与斜边之间有什么关系？（30°角所对的直角边等于斜边的一半。）你们的三角板中，这个结论是不是也都成立？
45°30°BB2、（用小黑板出示图6—1（1），我们把这个结论化为数学式子，可以得到什么？（ ==。）
CCAA3、这就是说，当∠A=30°时，不管直角三角形的大小如何，∠A的 图6—1（1） 图6—1（2）对边与斜边的比值都等于 。那么，根据这个比值 ，如果已知斜边AB的长，怎样算出∠A的对边BC的长呢？（BC=AB。）4、（出示自己带来的另一教具——等腰的那把本制三角板和小黑板上的图6—1（2），类似地，运用勾股定理，在所有等腰的那块三角板中，我们可以发现什么？（ ====。）5、这就是说，当∠A=45°时，不管直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于 。那么，根据这个比值 ，如果已知斜边AB的长，怎样算出∠A的对边BC的长呢？（BC=AB。）三、那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？为了回答这一问题，请同学们阅读教科书第3页第3行下面的内容（时间4分钟），然后提问：1、在直角三角形中，如果有一个锐角取固定值，而夹这个锐角的一条直角边和斜边的长都可以变化，那么，当我们把有这样特殊点的直角三角形中取固定值的锐角叠合在一起，并把夹这个锐角的直角边重合在一条直线上时，斜边会出现什么情况？（斜边也会重合在一条直线上。）2、（出示小黑板上的图6—2），Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3、……之间有什么关系？（彼此相似。）为什么？（它们有公共的锐角A。）
B3B23、那么， 、 、 这些比值之间有什么关系？（彼此相等。）为什么？（相似三角形中对应边的比相等。）
B14、由此可得什么结论？（在直角三角形中，当一个锐角取固定值时，它的对边与斜边的比也取一个固定值。）
C3C2C1A[课堂练习]在△ABC中，∠C为直角。 图6—21、如果∠A=60°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？2、如果∠A=60°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？3、如果∠A=30°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？4、如果∠A=45°，那么∠B的对边与斜边的比值是多少？[课堂小结]在这一节课中，我们获得了一个重要的结论：在直角三角形中，当一个锐角（∠A）取固定值时，它的对边与斜边的比值（ ）也是一个固定值，如果后者（即 ）能够由前者（即∠A）求出，那么引例中的实际问题（求BC的长）就可以解决了。所以，从下节课起，我们将进一步研究这类比值（即 等）的特点，从而得以求出它们。[课外作业]复习教科书第1~3页上的全部内容。[板书设计]课题：一、1、2、3、4、5、二1、2、3、4、5、三、1、2、3、4、课堂练习[课后记]通过本节课内容的学习，我们对直角三角形又有了一个新的认识，即：当直角三角形中，有一锐角固定时，其对边与斜边的比值也是固定的这一重要性质。这在我们今后的学习中是十分重要的。
正弦和余弦 第7篇
教学建议
1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3.疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1.如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法：指导发现探索法.
2.学生学法：自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3.疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .
.
若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .
引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜边 ，
∴ ， .
， .
（2） ， .
，
∴ ， .
学生练习教材P6～7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
， ， .
， ， .
【例2】求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1） .
（2） .
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
（5）若 ，则锐角 .
（6）若 ，则锐角 .
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （ 为锐角）.
还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
补充：（1）若 ，则锐角 .
（2）若 ，则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第8篇
教学建议
1.知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.
2.重点、难点分析
（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.
应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：
很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.
根据定义，有
另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以
当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有
把以上结果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6.教法建议：
（1）联系实际，提出问题
通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备.
(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
(3)加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力.
第一课时
一、教学目标
1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
二、学法引导
1.教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
3.疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
4.解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
四、教具准备
自制投影片，一副三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1.如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？
前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
通过四个例子引出课题。
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。
（三）教学过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
3.练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
（四）总结、扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。
六、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。
七、板书设计
第二课时
一、教学目标
1.使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、学法引导
1.教学方法：指导发现探索法.
2.学生学法：自主、合作、探究式学习.
三、重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3.疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.
4.解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.
四、教具准备
三角板一副
五、教学步骤
（一）明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
（二）整体感知
当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
（三）教学过程
正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .
.
若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .
引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜边 ，
∴ ， .
， .
（2） ， .
，
∴ ， .
学生练习教材P6～7中1、2、3题.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
， ， .
， ， .
【例2】求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：（1） .
（2） .
这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
（5）若 ，则锐角 .
（6）若 ，则锐角 .
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
（四）总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
， （ 为锐角）.
还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.
六、布置作业
教材P10中2，3.
预习下一课内容.
补充：（1）若 ，则锐角 .
（2）若 ，则锐角 .
七、板书设计
正弦和余弦 第9篇
正弦和余弦（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
（二）能力训练点
逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
（三）德育渗透点
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.
三、教学步骤
（一）明确目标
1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
通过四个例子引出课题.
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其
顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴
形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.
五、板书设计
正弦和余弦 第10篇
正弦和余弦（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.
（二）能力训练点
逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
（三）德育渗透点
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.
2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.
三、教学步骤
（一）明确目标
1.如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？
2.长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？
3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？
4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？
前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.
通过四个例子引出课题.
（二）整体感知
1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值.
学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.
2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.
2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导：
若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其
顶点A1，A2，A3重合在一起，记作A，并使直角边AC1，AC2，AC3……落在同一条直线上，则斜边AB1，AB2，AB3……落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B1C1∥B2C2∥B3C3……，∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……，∴
形中，∠A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.
通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.
而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.
练习题为 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.
(四)总结与扩展
1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.
教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.
2.扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.
四、布置作业
本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.
五、板书设计
第十四章 解直角三角形
一、锐角三角函数 证明：------------------
结论：--------------------
练习：---------------------
正弦和余弦(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
(三)德育渗透点
渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
二、教学重点、难点
1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.
2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值——正弦和余弦.
(二)整体感知
只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.
而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图6－3：
请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则
引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1，0＜cosA＜1(∠A为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.
例1 求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
学生练习1中1、2、3.
让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.
例2 求下列各式的值：
为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：
(1)sin45°+cos45； (2)sin30°•cos60°；
在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.
(四)总结、扩展
首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即
0＜sinA＜1， 0＜cosA＜1(∠A为锐角).
还发现Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB.正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”
四、布置作业
教材习题14.1中A组3.
预习下一课内容.
五、板书设计
14.1 正弦和余弦（二）
一、概念： 三、例1---------- 四、特殊角的正余弦值
------------- ------------------- -----------------------
二、范围： ------------------ 五、例2 ------------
正弦和余弦(三)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系.
(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
培养学生独立思考、勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
1.重点：使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用.
2.难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.复习提问
(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答.因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施.
(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书).
(3)请同学们观察，从中发现什么特征？学生一定会回答“sin30°＝cos60°，sin45°＝cos45°，sin60°＝cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.
2.导入新课
根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值.”这是否是真命题呢？引出课题.
(二)、整体感知
关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明.引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式.在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明.
(三)重点、难点的学习和目标完成过程
1.通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗？”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃.
2.这时少数反应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分学生来说仍思路凌乱.因此教师应进一步引导：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)(A是锐角)成立吗？这时，学生结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，教师要给学生足够的研究解决问题的时间，以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神.
3.教师板书：
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A).
4.在学习了正、余弦概念的基础上，学生了解以上内容并不困难，但是，由于学生初次接触三角函数，还不熟练，而定理又涉及余角、余函数，使学生极易混淆.因此，定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后，需加以巩固.
已知∠A和∠B都是锐角，
(1)把cos(90°-A)写成∠A的正弦.
(2)把sin(90°-A)写成∠A的余弦.
这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理，教材安排了例3.
(2)已知sin35°=0.5736，求cos55°；
(3)已知cos47°6′=0.6807，求sin42°54′.
(1)问比较简单，对照定理，学生立即可以回答.(2)、(3)比(1)则更深一步，因为(1)明确指出∠B与∠A互余，(2)、(3)让学生自己发现35°与55°的角，47°6′分42°54′的角互余，从而根据定理得出答案，因此(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体学生掌握，在三个问题处理完之后，将题目变形：
(2)已知sin35°=0.5736，则cos______=0.5736.
(3)cos47°6′=0.6807，则sin______=0.6807，以培养学生思维能力.
为了配合例3的教学，教材中配备了练习题2.
(2)已知sin67°18′=0.9225，求cos22°42′；
(3)已知cos4°24′=0.9971，求sin85°36′.
学生独立完成练习2，就说明定理的教学较成功，学生基本会运用.
教材中3的设置，实际上是对前二节课内容的综合运用，既考察学生正、余弦概念的掌握程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处.同时，做例3也为下一节查正余弦表做了准备.
(四)小结与扩展
1.请学生做知识小结，使学生对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分.
2.本节课我们由特殊角的正弦(余弦)和它的余角的余弦(正弦)值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论：任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
四、布置作业
教材习题14.1A组4、5.
五、板书设计
14.1 正弦和余弦（三）
一、余角余函数关系 二、例3
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正弦和余弦(四)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求正弦、余弦值.(二)能力渗透点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育训练点
培养学生良好的学习习惯.
二、教学重点、难点
1.重点：“正弦和余弦表”的查法.
2.难点：当角度在0°～90°间变化时，正弦值与余弦值随角度变化而变化的规律.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.复习提问
1)30°、45°、60°的正弦值和余弦值各是多少？请学生口答.
2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样？通过复习，使学生便于理解正弦和余弦表的设计方式.
(二)整体感知
我们已经求出了30°、45°、60°这三个特殊角的正弦值和余弦值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值，为了使用上的方便，我们把0°—90°间每隔1′的各个角所对应的正弦值和余弦值(一般是含有四位有效数字的近似值)，列成表格——正弦和余弦表.本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1.“正弦和余弦表”简介
学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解.但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”.
(1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角.
2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字.
3)凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示.
2.举例说明
例4 查表求37°24′的正弦值.
学生因为有查表经验，因此查sin37°24′的值不会是到困难，完全可以自己解决.
例5 查表求37°26′的正弦值.
学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到26′，但26′在24′～30′间而靠近24′，比24′多2′，可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案.教师这时可设问“为什么将查得的5加在0.6074的最后一个数位上，而不是0.6074减去0.0005”.通过引导学生观察思考，得结论：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
解：sin37°24′=0.6074.
角度增2′ 值增0.0005
sin37°26′=0.6079.
例6 查表求sin37°23′的值.
如果例5学生已经理解，那么例6学生完全可以自己解决，通过对比，加强学生的理解.
解：sin37°24′=0.6074
角度减1′值减0.0002
sin37°23′=0.6072.
在查表中，还应引导学生查得：
sin0°=0，sin90°=1.
根据正弦值随角度变化规律：当角度从0°增加到90°时，正弦值从0增加到1；当角度从90°减少到0°时，正弦值从1减到0.
可引导学生查得：
cos0°=1，cos90°=0.
根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0°增加到90°时，余弦值从1减小到0，当角度从90°减小到0°时，余弦值从0增加到1.
(四)总结与扩展
1.请学生总结
本节课主要讨论了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值，余弦值随角度的变化而变化的规律：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大.
2.“正弦和余弦表”的用处除了已知锐角查其正、余弦值外，还可以已知正、余弦值，求锐角，同学们可以试试看.
四、布置作业
预习教材中例8、例9、例10，养成良好的学习习惯.
五、板书设计
14.1 正弦和余弦（四）
一、正余弦值随角度变 二、例题 例5 例6
化规律 例4
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正弦和余弦(五)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
使学生会根据一个锐角的正弦值和余弦值，查出这个锐角的大小.(二)能力训练点
逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
培养学生良好的学习习惯.
二、教学重点、难点和疑点
1.重点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小.
2.难点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小.
3.疑点：由于余弦是减函数，查表时“值增角减，值减角增”学生常常出错.
三、教学步骤
(一)明确目标
1.锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律是什么？
这一规律也是本课查表的依据，因此课前还得引导学生回忆.
答：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随角度的增大(或减小)而减小(或增大).
2.若cos21°30′=0.9304，且表中同一行的修正值是 则cos21°31′=______，
cos21°28′=______.
3.不查表，比较大小：
(1)sin20°______sin20°15′；
(2)cos51°______cos50°10′；
(3)sin21°______cos68°.
学生在回答2题时极易出错，教师一定要引导学生叙述思考过程，然后得出答案.
3题的设计主要是考察学生对函数值随角度的变化规律的理解，同时培养学生估算.
(二)整体感知
已知一个锐角，我们可用“正弦和余弦表”查出这个角的正弦值或余弦值.反过来，已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个角的大小.因为学生有查“平方表”、“立方表”等经验，对这一点必深信无疑.而且通过逆向思维，可能很快会掌握已知函数值求角的方法.
(三)重点、难点的学习与目标完成过程.
例8 已知sinA＝0.2974，求锐角A.
学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A，但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974，由这个数所在行向左查得17°，由同一数所在列向上查得18′，即0.2974＝sin17°18′，以培养学生语言表达能力.
解：查表得sin17°18′＝0.2974，所以
锐角A＝17°18′.
例9 已知cosA＝0.7857，求锐角A.
分析：学生在表中找不到0.7857，这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法.这时教师让学生讨论，在探讨中寻求办法.这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻.
若条件许可，应在讨论后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7857.但能找到同它最接近的数0.7859，由这个数所在行向右查得38°，由同一个数向下查得12′，即0.7859＝cos38°12′.但cosA＝0.7857，比0.7859小0.0002，这说明∠A比38°12′要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002对应的角度是1′，所以∠A＝38°12′＋1′＝38°13′.
解：查表得cos38°12′＝0.7859，所以：
0.7859＝cos38°12′.
值减0.0002角度增1′
0.7857＝cos38°13′，
即 锐角A＝38°13′.
例10 已知cosB＝0.4511，求锐角B.
例10与例9相比较，只是出现余差(本例中的0.0002)与修正值不一致.教师只要讲清如何使用修正值(用最接近的值)，以使误差最小即可，其余部分学生在例9的基础上，可以独立完成.
解：0.4509＝cos63°12′
值增0.0003角度减1′
0.4512＝cos63°11′
∴锐角B＝63°11′
为了对例题加以巩固，教师在此应设计练习题，教材P.15中2、3.
2.已知下列正弦值或余弦值，求锐角A或B：
(1)sinA=0.7083，sinB=0.9371，
sinA=0.3526，sinB=0.5688；
(2)cosA=0.8290，cosB=0.7611，
cosA=0.2996，cosB=0.9931.
此题是配合例题而设置的，要求学生能快速准确得到答案.
(1)45°6′，69°34′，20°39′，34°40′；
(2)34°0′，40°26′，72°34′，6°44′.
3.查表求sin57°与cos33°，所得的值有什么关系？
此题是让学生通过查表进一步印证关系式sinA＝cos(90°-A)，cosA＝0.8387，∴sin57°＝cos33°，或sin57°＝cos(90°-57°)，cos33°＝sin(90°-33°).
(四)、总结、扩展
本节课我们重点学习了已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个锐角的大小，这也是本课难点，同学们要会依据正弦值和余弦值随角度变化规律(角度变化范围0°～90°)查“正弦和余弦表”.
四、布置作业
教材复习题十四A组3、4，要求学生只查正、余弦。
五、板书设计
14.1 正弦和余弦（五）
例8 例9 例10
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