22.2.2 配方法 第1篇
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程.
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
重难点关键
1.重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
2.难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=± 或mx+n=± （p≥0）.
如：4x2+16x+16=（2x+4）2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？
问题1：印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”.
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（ x）2+12
整理得：x2-64x+768=0
问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500
整理，得：x2-36x+70=0
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
（2）不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768
两边加（ ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → （x-32）2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48，x2=16
可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子.
学生活动：
例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.
老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=± ，x-18= 或x-18=- ，x1≈34，x2≈2.
可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2.
例2.解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上.
解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7，x2=-5
可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根.
（2）x2-2x- =0 x2-2x=
x2-2x+12= +1 （x-1）2=
x-1=± 即x-1= ，x-1=-
x1=1+ ，x2=1-
可以验证：x1=1+ ，x2=1- 都是方程的根.
三、应用拓展
例3.如图，在rt△acb中，∠c=90°，ac=8m，cb=6m，点p、q同时由a，b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
分析：设x秒后△pcq的面积为rt△abc面积的一半，△pcq也是直角三角形.根据已知列出等式.
解：设x秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
根据题意，得： （8-x）（6-x）= × ×8×6
整理，得：x2-14x+24=0
（x-7）2=25即x1=12，x2=2
x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去.
所以2秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
四、归纳小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式，左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.
五、作业设计
一、选择题
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）.
a.（x-2）2+3 b.（x-2）2-3 c.（x+2）2+3 d.（x+2）2-3
2.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）.
a.x2-8x+（-4）2=31 b.x2-8x+（-4）2=1
c.x2+8x+42=1 d.x2-4x+4=-11
3.如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）.
a.1 b.-1 c.1或9 d.-1或9
二、填空题
1.方程x2+4x-5=0的解是________.
2.代数式 的值为0，则x的值为________.
3.已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______.
三、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长.
2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求（xy）z的值.
3.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
答案:
一、1.b 2.b 3.c
二、1.x1=1，x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0，2，-4
三、1.（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，∴三角形周长为9（∵x2=1，∴不能构成三角形）
2.（x-2）2+（y+3）2+ =0，∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）z=（-6）-2=
3.设每台定价为x，则：（x-2500）（8+ ×4）=5000，x2-5500x+7506250=0，解得x=2750
22.2.2 配方法
教学内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程.
教学目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.
重难点关键
1.重点：讲清配方法的解题步骤.
2.难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方.
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
解：
（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1
（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22（x+2）2=3即x+2=± x1= -2，x2=- -2
二、探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.解下列方程
（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方.
解：（1）移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
（2）移项，得：2x2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+（ ）2=-1+（ ）2（x+ ）2=
由此可得x+ =± ，即x1= - ，x2=- -
（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=± ，即x1= -2，x2=- -2
三、应用拓展
例2.用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4= （6x+7）+ ，x+1= （6x+7）- ，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法.
解：设6x+7=y
则3x+4= y+ ，x+1= y-
依题意，得：y2（ y+ ）（ y- ）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2- ）2=
y2- =±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=- ，x2=-
四、归纳小结
本节课应掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
五、作业
一、选择题
1.配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为（ ）.
a.（x- ）2= b.（x- ）2=0
c.（x- ）2= d.（x- ）2=
2.下列方程中，一定有实数解的是（ ）.
a.x2+1=0 b.（2x+1）2=0
c.（2x+1）2+3=0 d.（ x-a）2=a
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）.
a.1 b.2 c.-1 d.-2
二、填空题
1.如果x2+4x-5=0，则x=_______.
2.无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
3.如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________.
三、综合提高题
1.用配方法解方程.
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2 x
2.已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求 的值.
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案.
答案:
一、1.d 2.b 3.b
二、1.1，-5 2.正 3.x-y=
三、1.（1）y2-2y- =0，y2-2y= ，（y-1）2= ，y-1=± ，y1= +1，y2=1-
（2）x2-2 x=-3 （x- ）2=0，x1=x2=
2.（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，∴原式=
3.（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0，∴x=15时，赢利最多，y=1250元.答：略
22.2.2 配方法 第2篇
配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.
重点
讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤.
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程：
(1)3x2－1＝5 (2)4(x－1)2－9＝0 (3)4x2＋16x＋16＝9 (4)4x2＋16x＝－7
老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得
x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0).
如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答：
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16
两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5
解一次方程→x1＝2，x2＝－8
可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1 用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2－8x＋1＝0 (2)x2－2x－12＝0
分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.
解：略.
三、巩固练习
教材第9页 练习1，2.(1)(2).
四、课堂小结
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.
五、作业布置
22.2.2 配方法 第3篇
[课 题] §12.2 一元二次方程的解法（2）——配方法[教学目的] 使学生掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方；使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学重点] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行配方。[教学难点] 掌握配方法的推导过程，能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的配方。[教学关键] 会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1[教学过程][复习提问] 1、在（x+3）2=2中，x+3与2的关系是什么？（x+3是2的平方根。）2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。（x2+6 x+9=2，x2+6 x+7=0。）[讲解新课]现在，我们来研究方程：x2+6 x+7=0的解法。我们知道，方程：x2+6 x+7=0是由方程：（x+3）2=2变形得到的，因此，要解方程：x2+6 x+7=0应当如何变形？这里要求学生做尝试回答：要解方程：x2+6x+7=0，最好将其变形为：（x+3）2=2。这是因为，我们会用直接开平方法解方程：（x+3）2=2了。下面重点研究如何将方程：x2+6 x+7=0，变形为：（x+3）2=2。这里，不是只研究这一道题解法的问题，而是注意启发学生找出一般性规律。将方程：x2+6 x+7=0的常数项移到右边，并将一次项6x改写成2·x·3，得：x2+2·x·3=－7。由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上32，即：x2+2·x·3+32=－7+32，（x+3）2=2。解这个方程，得：x1=－3+ ，x2=－3－ 。随后提出：这种解一元二次方程的方法叫做配方法。很明显，掌握这种方法的关键是“配方”。上述引例以及列3，二次项系数都是1，而例4，二次项的系数不是1，这时，要将方程的两边都除以二次项的系数，就把该方程的二次项系数变成1了。这样，“配方”就容易了。让学生做练习：1、x2+6x+ =（x+ ）2；（9，3）2、x2－5x+ =（x－ ）2；（ ， ）3、x2+ x+ =（x+ ）2；（ ， ）例3 解方程：x2－4 x－3=0。解：略。例4 解方程：2x2+3=7 x。解：略。说明：在讲解完这两个例题之后，一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解，另一方面是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。讲解应突出重点，对容易出错的地主应给予较多的讲解。如例4的解方程：2x2+3=7 x，在“分析”中指出，应先把这个方程化成一般形式：2x2－7 x +3=0。其次，这个方程的二次项系数是2，为了便于配方，可把二次项系数化为1，为此，把方程的各项都除以2，并移项，得：x2－ x=－ ；下一步应是配方。这里，一次项的系数是（－ ），它的一半的平方是（－ ）2。学生在这里容易出错。讲解时，应提醒学生注意。我们知道，配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法，而用公式法。但是，配方法是导出公式法——求根公式的关键，在以后的学习中，会常常用到配方法，所以掌握这个数学方法是重要的。[课堂练习]教科书第10页练习第1，2题。[课堂小结]这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，配方的关键是：在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。请同学们回去后，用配方法解一下关于x的方程：ax2+bx+c=0（a≠0）。（此题为下一课讲解作准备，可指定一些同学做，从中了解在公式推导过程中存在的问题。）[课外作业]教科书第15页习题12.1A组第3，4题。[板书设计]
课题：例题：辅助板书：[课后记]通过本节课的学习，多数学生对配方法解一元二次方程基本掌握，但有一部分学生对一元二次方程一般式的配方法掌握的不好，希望课后多加练习。
22.2.2 配方法 第4篇
公开课教案
授课人:henao6202 授课时间：-3-27
授课地点：xx中学八（1）班 公开范围：数学组
授课内容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法
教学目标：理解配方法的意义，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点：配方法解一元二次方程
教学过程：
一、复习旧知 导入新课
1、因式分解的完全平方公式内容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]
2、填空：
（1）x2-8x+( )2=(x- )2 (2)y2+5y+( )2=(y+ )2
(3) x2- x+( )2=(x- )2 (4)x2+px+( )2=(x+ )2
说明：配方的关键是两边同加上一次项系数一半的平方，前提是二次项系数是1。
二、讲解新课
1、解方程(1)(x+3)2=2
解： x+3=±
x=-3±
即：x1=-3+ x2=-3-
(2)x2+6x+7=0
这个方程显然不能用直接开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x+m)2=n的形式。
我们可以这样变形：
把常数项移到右边，得
x2+6x=-7
对等号左边进行配方，得
x2+6x+32=-7+32
(x+3)2=2
这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了。像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后（即化为（x+m）2=n形式），再用开平方来解的方法叫配方法。
（板书）（一）、一元二次方程解法二：配方法
2、例1 用配方法解下列方程：
（1）x2-4x-1=0 (2)2x2-3x-1=0
说明：第（1）小题引导学生自己完成，第二小题引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成。
解：（1）移项，得
x2-4x=1
配方，得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
开方，得
x-2=±
∴x1=2+ x2=2-
(2)化二次项系数为1，得
x2- x- =0
移项，得
x2- x=
下面的过程由学生补充完整：
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三、归纳小结
配方法的一般步骤（让学生总结，在黑板上板书）
1、 化二次项系数为1
2、 移项
3、 配方（两边同加上一次项系数一半平方）
4、 开方
其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。
四、练习
p40 练习1、2
五、课外作业
p45 1、2
六、板书设计
20.2 一元二次方程解法
（一）一元二次方程解法二--配方法 例1 解方程
（二）配方法的一般步骤 （1）x2-4x-1=0
1、化二次项系数为1 (2) 2x2-3x-1=0
2、移项 解：------------------------
3、配方（两边同加一次项系数一半平方） ------------------------
4、开方 ------------------------
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