22.3 实际问题与一元二次方程 第1篇
教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题.
重难点关键
1.重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2.难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
教学过程
一、复习引入
1.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3.梯形的面积公式是什么？
4.菱形的面积公式是什么？
5.平行四边形的面积公式是什么？
6.圆的面积公式是什么？
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题.
例1.某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m.
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模.
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m.
（2） =25天
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道.
例2.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm.
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ，则中央矩形的面积是封面面积的.
所以（27-18x）（21-14x）= ×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x= ，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm.
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0.1尺）
四、应用拓展
例3.如图（a）、（b）所示，在△abc中∠b=90°，ab=6cm，bc=8cm，点p从点a开始沿ab边向点b以1cm/s的速度运动，点q从点b开始沿bc边向点c以2cm/s的速度运动.
（1）如果p、q分别从a、b同时出发，经过几秒钟，使s△pbq=8cm2.
（2）如果p、q分别从a、b同时出发，并且p到b后又继续在bc边上前进，q到c后又继续在ca边上前进，经过几秒钟，使△pcq的面积等于12.6cm2.（友情提示：过点q作dq⊥cb，垂足为d，则： ）
分析：（1）设经过x秒钟，使s△pbq=8cm2，那么ap=x，pb=6-x，qb=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型.
（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△pcq的面积等于12.6cm2.因为ab=6，bc=8，由勾股定理得：ac=10，又由于pa=y，cp=（14-y），cq=（2y-8），又由友情提示，便可得到dq，那么根据三角形的面积公式即可建模.
解：（1）设x秒，点p在ab上，点q在bc上，且使△pbq的面积为8cm2.
则： （6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过2秒，点p到离a点1×2=2cm处，点q离b点2×2=4cm处，经过4秒，点p到离a点1×4=4cm处，点q离b点2×4=8cm处，所以它们都符合要求.
（2）设y秒后点p移到bc上，且有cp=（14-y）cm，点q在ca上移动，且使cq=（2y-8）cm，过点q作dq⊥cb，垂足为d，则有
∵ab=6，bc=8
∴由勾股定理，得：ac= =10
∴dq=
则： （14-y）· =12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过7秒，点p在bc上距c点7cm处（cp=14-y=7），点q在ca上距c点6cm处（cq=2y-8=6），使△pcd的面积为12.6cm2.
经过11秒，点p在bc上距c点3cm处，点q在ca上距c点14cm>10，
∴点q已超过ca的范围，即此解不存在.
∴本小题只有一解y1=7.
五、归纳小结
本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
六、作业
一、选择题
1.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）.
a. b.5 c. d.7
2.有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）.
a.第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;
b.第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;
c.第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;
d.以上都不对
3.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）.
a.8cm b.64cm c.8cm2 d.64cm2
二、填空题
1.矩形的周长为8 ，面积为1，则矩形的长和宽分别为________.
2.长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________.
3.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边*墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.
三、综合提高题
1.如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 = ，迎水坡度 ）（精确到0.1m）
2.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3.谁能量出道路的宽度:
如图22-10，有矩形地abcd一块，要在中央修一矩形花辅efgh，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行.
答案:
一、1.b 2.b 3.d
二、1.2 + 2 - 2.32cm 3.20m和7.5m或15m和10m
三、
1.设坝的高是x，则ae=x，bf=2x，ab=3+3x，依题意，得： （3+3+3x）x×30=4500 整理，得：x2+2x-100=0 解得x≈ 即x≈9.05（m）
2.设宽为x，则12×8-8=2×8x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10x+22=0 解得：x1=5+ （舍去），x2=5-
3.设道路的宽为x，ab=a，ad=b 则（a-2x）（b-2x）= ab 解得：x= [（a+b）- ] 量法为：用绳子量出ab+ad（即a+b）之长，从中减去bd之长（对角线bd= ），得l=ab+ad-bd，再将l对折两次即得到道路的宽 ，即 .
22.3 实际问题与一元二次方程 第2篇
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.
通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题.
重难点关键
1.重点：用“倍数关系”建立数学模型
2.难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型
教学过程
一、复习引入
（学生活动）问题1：列方程解应用题
下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时的价格）：
星期
一
二
三
四
五
甲
12元
12.5元
12.9元
12.45元
12.75元
乙
13.5元
13.3元
13.9元
13.4元
13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式.
解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张.
则 解得
答：（略）
二、探索新知
上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题.
（学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x.因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式.
解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31
去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31
整理，得：x2+3x-0.31=0
解得：x=10%
答：（略）
以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型.
例1.某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率.
分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系.
解：设平均增长率为x
则200+200（1+x）+200（1+x）2=950
整理，得：x2+3x-1.75=0
解得：x=50%
答：所求的增长率为50%.
三、巩固练习
（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?
（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________.
四、应用拓展
例2.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率.
分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推.
解：设这种存款方式的年利率为x
则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320
整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0
解得：x1=-2（不符，舍去），x2= =0.125=12.5%
答：所求的年利率是12.5%.
五、归纳小结
本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它.
六、作业
一、选择题
1.2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）.
a.100（1+x）2=250 b.100（1+x）+100（1+x）2=250
c.100（1-x）2=250 d.100（1+x）2
2.一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）.
a.（1+25%）（1+70%）a元 b.70%（1+25%）a元
c.（1+25%）（1-70%）a元 d.（1+25%+70%）a元
3.某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）.
a. b.p c. d.
二、填空题
1.某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______.
2.某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________.
3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________.
三、综合提高题
1.为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率
2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.
3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营.
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式来表示）（注：年获利率= ×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率.
答案:
一、1.b 2.b 3.d
二、
1.6（1+x） 6（1+x）2 6+6（1+x）+6（1+x）2
2.a（1+x）2t
3.
三、
1.平均增长率为x，则1600（1+x）2=1936，x=10%
2.设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：
则
即16x2+56x-15=0，解得x= =25%，y=20（台）
3.（1）第一年年终总资金=50（1+p） （2）50（1+p）（1+p+10%）=66，整理得：p2+2.1p-0.22=0，解得p=10%
22.3 实际问题与一元二次方程 第3篇
教学内容
建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况.
教学目标
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题.
复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法.
重难点关键
1.重点：如何全面地比较几个对象的变化状况.
2.难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况.
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下面的题目.
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
总利润=每件平均利润×总件数.设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+ ×100）
解：设每张贺年卡应降价x元
则（0.3-x）（500+ ）=120
解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价0.1元.
二、探索新知
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系.
例1.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利 0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元； ，从这些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题.
解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元.
（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元，
则：（0.75-y）（200+ ×34）=120
即（ -y）（200+136y）=120
整理：得68y2+49y-15=0
y=
∴y≈-0.98（不符题意，应舍去）
y≈0.23元
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大.
因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律.
例2.两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元.
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
设乙种药品成本的平均下降率为y.
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大.
因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等.
三、巩固练习
新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?
四、应用拓展
例3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润.
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式.
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg.
（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]
（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过 =250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少.
解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意.
当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）.
五、归纳小结
本节课应掌握：
建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题.
六、作业
一、选择题
1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）.
a.12人 b.18人 c.9人 d.10人
2.某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（ ）.
a.12% b.15% c.30% d.50%
3.育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（ ）.
a.600 b.604 c.595 d.605
二、填空题
1.一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%.
2.甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元.
3.一个容器盛满纯药液63l，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28l，设每次倒出液体xl，则列出的方程是________.
三、综合提高题
1.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
2.某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?
3.某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同.
（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a、b的代数式表示）
（2）若一名检验员1天能检验 b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?
答案：
一、1.c 2.b 3.d
二、1.2 2.1 3.（1- ）2=
三、
1.甲：设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%乙：设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大.
2.设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），整理，得：x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，
解得x1=20，x2=380
3.（1） =a+2b或 （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同.所以a+2b= ，解得：a=4b 所以（a+2b）÷ b=6b÷ b= =7.5（人） 所以至少要派8名检验员.
22.3 实际问题与一元二次方程 第4篇
教学内容
运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题.
教学目标
掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题.
通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题.
重难点关键
1.重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题.
2.难点与关键：建模.
教学过程
一、复习引入
路程、速度和时间三者的关系是什么？
二、探究新知
我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题.
请思考下面的二道例题.
例1.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?
分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可.
解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0
解得t= （s）
答：行驶200m需 s.
例2.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车.
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
分析：（1）刚刹车笔彼倩故?0m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0.因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 =10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间.
（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可.
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs.由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值.
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是 =10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是 =2.5（s）
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =8（m/s）
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s
则这段路程内的平均车速为 =（20-4x）m/s
所以x（20-4x）=15
整理得：4x2-20x+15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s.
三、巩固练习
（1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间.（精确到0.1s）
（2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间.（精确到0.1s）
四、应用拓展
例3.如图，某海军基地位于a处，在其正南方向200海里处有一重要目标b，在b的正东方向200海里处有一重要目标c，小岛d位于ac的中点，岛上有一补给码头：小岛f位于bc上且恰好处于小岛d的正南方向，一艘军舰从a出发，经b到c匀速巡航，一般补给船同时从d出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
（1）小岛d和小岛f相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由b到c的途中与补给船相遇于e处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）
分析：（1）因为依题意可知△abc是等腰直角三角形，△dfc也是等腰直角三角形，ac可求，cd就可求，因此由勾股定理便可求df的长.
（2）要求补给船航行的距离就是求de的长度，df已求，因此，只要在rt△def中，由勾股定理即可求.
解：（1）连结df，则df⊥bc
∵ab⊥bc，ab=bc=200海里.
∴ac= ab=200 海里，∠c=45°
∴cd= ac=100 海里
df=cf， df=cd
∴df=cf= cd= ×100 =100（海里）
所以，小岛d和小岛f相距100海里.
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么de=x海里，ab+be=2x海里，
ef=ab+bc-（ab+be）-cf=（300-2x）海里
在rt△def中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得3x2-1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200- ≈118.4
x2=200+ （不合题意，舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.
五、归纳小结
本节课应掌握：运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题.
六、作业
一、选择题
1.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（ ）.
a.25 b.36 c.25或36 d.-25或-36
2.某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）.
a.正好8km b.最多8km c.至少8km d.正好7km
二、填空题
1.以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= +2 如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）
2.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：
时间t（s）
1
2
3
4
……
距离s（m）
2
8
18
32
……
写出用t表示s的关系式为_______.
三、综合提高题
1.一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来.
（1）小球滚动了多少时间?
（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
2.某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标.如图，当该军舰行至a处时，电子侦察船正位于a处正南方向的b处，且ab=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由.
答案:
一、1.c 2.b
二、1.19.3m/s 2.s=2t2
三、
1.（1）小球滚动的平均速度= =5（m/s） 小球滚动的时间： =4（s）
（2） =2.5（m/s）
（3）小球滚动到5m时约用了xs 平均速度= =
依题意，得：x· =5，整理得：x2-8x+4=0
解得：x=4±2 ，所以x=4-2
2.能.设侦察船最早由b出发经过x小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502
整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2 ，x2=2，
∴最早再过2小时能侦察到.
22.3 实际问题与一元二次方程 第5篇
本文是网小编为大家整理的初三《实际问题与一元二次方程》说课稿，希望对大家有所帮助。
各位评委：
大家好!
今天我说课的内容是人教版初中数学初三上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》的第四课时实验与探究。它是继传播问题、百分率问题、长宽比例问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
(一)教材分析与学生现实分析
一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用
大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
（二）数学新课程标准要求：
人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:
1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3、情感、态度与价值观：通过用一元二次解决实际问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展的作用。激发学生学习数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点、难点及解决措施：
重点：列一元二次方程解实际问题。
难点：发现问题中的等量关系。
教师引导，学生自主探索、合作交流。
(三)教法的确定与学法指导
我们学校在去年实行了杜郎口中学的三三六的教学模式立体式、大容量、快节奏;自主学习三模块：预习、展示、反馈;课堂展示六环节：预习交流、明确目标、分组合作、展现提升、穿插巩固、达标测评。对于每个专题都要经历预习、展示和达标检测三个环节，经过一年的训练，学生们已经有较好的自学能力和小组合作能力，实践表明，学生给学生讲题，同学们会更有兴趣，也更容易接受，学生通过自我展示不但能激发他们的表现欲，还能提高语言表达能力和竞争意识。我们让各个小组轮流来当课堂“小老师”，以提高他们的合作水平和对试题的阅读理解能力，同学们和教师也会根据每个“小老师”讲解的具体情况来进行修正和补充，强调重点，总结规律。为了鼓励学生勤于思考，善于发问，我在课堂上引入“奖励分”制度，对于独特解法或有提出创造性问题的同学和小组给予1——3分的奖励。本节课是对一元二次方程应用的基本问题的学习后的探索活动课，在预习课上我已经下发了试题学案，并给每个小组分配了展示任务。学案上我选用了了四道实际问题，要求同学们找出试题特点和关键词语以及易错点，并用硬纸板和铁丝做出相应的试题模型。预习课上学生先做题再合作，同学们之间有充分的交流和讨论。
(四)教学过程分析
心理学研究表明，当外部刺激唤起主体的情感活动时，就更容易成为注意的中心，由此我选了这样的几道题：
1、在信息时代，邮政特快专递越来越受到广大用户的青睐。我们同学要给“希望小学”邮寄一些学习用具，为了保证学习用具不受潮损坏，同学们决定自己制作一个包装盒，为此，选用长80厘米，宽60厘米的纸板，在四个角截出四个大小相同的正方形，然后把四边折起，做成一个底面积为1500平方厘米的无盖长方体盒子，并配上相应的盖子，同学们想一想怎样求出盒子的高?
我先让每一个小组展示用硬纸板制作的模型，相互比较形状各异的长方体的纸盒，谈一谈有什么发现，同学们会说：截出正方形的边长不同，盒子的高，底面积也不同，还有正方形的边长就是盒子的高。展示小组再将问题具体解答，不难列出方程并解出方程的解，教师追问展示小组请说出解这道题需要注意
22.3 实际问题与一元二次方程 第6篇
一、内容和内容解析
1.内容
用一元二次方程解决“封面设计问题”.
2.内容解析
本节课是21.3 实际问题与一元二次方程的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决让学生再次经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处.
在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型.探究3以封面设计为问题背景，讨论边衬的宽度.在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点.
二、目标和目标解析
1.教学目标
（1）会用一元二次方程解决“封面设计问题”；
（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力.
2.目标解析
（1）能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果；
（2）完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程，积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.
三、教学问题诊断分析
探究3与以前的实际问题相比，它在分析数量关系方面更复杂，问题情境与实际情况也更接近，对于这样的综合性问题，学生缺乏解决问题的经验，而且探究3的问题中没有明确求什么，学生感觉无从下手.学生一般可以意识到要“设元”用方程解决问题，但如何设元，如何与几何知识结合，挖掘题目图形中隐蔽的相等关系，构造方程模型对学生来说存在不同程度的困难，这也是本节课的难点所在.由于探究3的问题中，方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解，因此由数学问题的解得到实际问题的答案对于学生来说也是一个难点.
四、教学过程设计
1.弄清题意
问题1 怎么理解“应如何设计边衬的宽度”这句话？
师生活动 教师提问，学生思考、回答.
根据学生的回答情况，教师可通过追问：“设计边衬的宽度要求几个未知数？哪几个，为什么？”加以引导.
一般情况下，学生都能根据“上下边衬等宽，左右边衬等宽”得出“设计边衬的宽度要求两个未知数（上面的边衬宽度和左面的边衬宽度）”.
【设计意图】使学生明确“封面设计问题”中求的是什么，初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.
问题2 题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？
师生活动 学生读题，思考，可以适当讨论.根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导.如：如何理解“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形”这句话？“四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”能告诉我们什么？
学生经过思考、讨论不难得出：中央长方形的长宽之比是9:7 ，长宽之积为.
【设计意图】培养学生读题、审题能力.
2.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换
问题3 如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言？
师生活动 学生思考并回答问题.这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与已知量的关系.
设上面边衬宽度和左面边衬宽度分别为 cm和cm，中央长方形的长和宽分别为x cm和y cm.
把“正中央是一个与整个封面长度比例相同的矩形，四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”翻译成数学符号语言可得：.
教师追问： 四个未知数、，它们之间还存在怎样的数量关系？
这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示：探究3的问题中还有一个重要的条件“图形”，同学们看看“图形”告诉了我们什么？
把“图形语言”翻译成数学符号语言可得： .
【设计意图】把“探究3”符号化，为应用数学知识解决问题创造条件.
3.解决问题
问题4 怎么解决“封面设计问题”？
师生活动 教师与学生一起梳理，看看通过前面的分析都得到了哪些结论.
前面我们设了4个“元”和、和，它们分别代表中央长方形的长和宽 、上面边衬宽度和左面边衬宽度，它们之间存在如下的数量关系：
，.
教师引导学生发现，这就是一个以、为未知数的四元方程组，找到这个方程组中的a、b的值，“封面设计问题”就迎刃而解了.
【设计意图】树立方程意识，渗透方程思想.
问题5 请你解这个方程组，并与同学交流一下你的解法.
师生活动 学生独立思考、解题，并与同学交流.教师请同学展示解法并进行点评.
学生可能的解法：
（1），（2），（3），（4）.
方法一：由（1）、（2）求出x、y的值，分别代入（3）、（4）求出a、b的值.
说明1：在由（1）、（2）求、的过程中，可以依据，设简化计算.
说明2：实际解题时，可以简化“设元”部分，只设中央长方形的长和宽分别为 cm和cm，解方程求出的值，进而求出中央长方形的长和宽，再用算术方法就可求出上面边衬宽度和左面边衬宽度.
方法二：由（3）、（4）变形得，把（5）、（6）分别代入（1）、（2）可得关于、的二元方程组，解这个方程组求出、的值.
说明：把（5）、（6）代入（2）化简可得，可以依据，设，把代入（5）、（6）得到，再把（7）、（8）代入（1）求出值，进而求出、的值.
【设计意图】在体验解法多样性的基础上，树立优化意识，简化计算，优化解题形式.
问题6 你求出的、的值都是实际问题的解吗？
师生活动 教师提出问题，学生通过计算得出结论.
【设计意图】与实际问题结合，检验数学问题的解是否为实际问题的解.
4.回顾反思
问题7 通过这节课，你对“封面设计问题”有什么新的认识，有何收获和体会？
师生活动 请学生回顾“封面设计问题”的探究过程，回答以下问题：
（1）探究解题的过程大致包含哪几个步骤？
（2）在 “封面设计问题”的探究过程中，你遇到了哪些困难，是如何解决的？
【设计意图】更好地体会建模思想，理解建模的一般步骤和方法.
5.布置作业
教科书习题21.3第5，8，9题.
五、目标检测设计
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（ ）.
a. b. c. d.
【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系.
2.(XX年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案。
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。
【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题。
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