高中数学教案素材设计(15篇)

高中数学教案(15第)

　　作为一位无私奉献的人民教师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以有效提升自己的教学能力。那么什么样的教案才是好的呢？以下是小编收集整理的高中数学教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

高中数学教案1

　　各位评委、各位专家，大家好！今天，我说课的内容是人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一章第五节“一元二次不等式解法”。

　　下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计、效果评价六方面进行说课。

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

　　（二）教学内容

　　本节内容分2课时学习。本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。

　　二、教学目标分析

　　根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：

　　知识目标——理解“三个二次”的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

　　能力目标——通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

　　情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

　　三、重难点分析

　　一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。

　　要把握这个重点。关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于初中没有专门研究过这类问题，高一学生比较陌生，要真正掌握有一定的难度。因此，本节课的难点确定为：“三个二次”的关系。要突破这个难点，让学生归纳“三个一次”的关系作铺垫。

　　四、教法与学法分析

　　（一）学法指导

　　教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体；只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”，学生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，课堂教学才富有时代特色，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

　　（二）教法分析

　　本节课设计的指导思想是：现代认知心理学——建构主义学习理论。

　　建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学生应与一定的知识背景即情景相联系，在实际情景下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情景中。

　　本节课采用“诱思引探教学法”。把问题作为出发点，指导学生“画、看、说、用”。较好地探求一元二次不等式的解法。

　　五、课堂设计

　　本节课的教学设计充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。

　　（一）创设情景，引出“三个一次”的关系

　　本节课开始，先让学生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”则变成一元二次不等式x2-x-60让学生解，学生肯定感到很突然。但是“思维往往是从惊奇和疑问开始”，这样直奔主题，目的在于构造悬念，激活学生的思维兴趣。

　　为此，我设计了以下几个问题：

　　1、请同学们解以下方程和不等式：

　　①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

　　学生回答，我板书。

　　2、我指出：2x-70和2x-70的解实际上只需利用不等式基本性质就容易得到。

　　3、接着我提出：我们能否利用不等式的基本性质来解一元二次不等式呢？学生可能感到很困惑。

　　4、为此，我引入一次函数y=2x-7，借助动画从图象上直观认识方程和不等式的解，得出以下三组重要关系：

　　①2x-7=0的解恰是函数y=2x-7的图象与x轴

　　交点的横坐标。

　　②2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

　　在x轴的上方的点的横坐标的集合。

　　③2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

　　在x轴的下方的点的横坐标的集合。

　　三组关系的得出，实际上让学生找到了利用“一次函数的图象”来解一元一次方程和一元一次不等式的方法。让学生看到了解决一元二次不等式的希望，大大激发了学生解决新问题的兴趣。此时，学生很自然联想到利用函数y=x2-x-6的图象来求不等式x2-x-60的解集。

　　（二）比旧悟新，引出“三个二次”的关系

　　为此我引导学生作出函数y=x2-x-6的图象，按照“看一看 说一说 问一问”的思路进行探究。

　　看函数y=x2-x-6的`图象并说出：

　　①方程x2-x-6=0的解是

　　x=-2或x=3 ；

　　②不等式x2-x-60的解集是

　　{x|x-2,或x3}；

　　③不等式x2-x-60的解集是

　　{x|-23}。

　　此时，学生已经冲出了困惑，找到了利用二次函数的图象来解一元二次不等式的方法。

　　学生沉浸在成功的喜悦中,不妨趁热打铁问一问:如果把函数y=x2-x-6变为y=ax2+bx+c(a0)，那么图象与x轴的位置关系又怎样呢？(学生回答：△0时，图象与x轴有两个交点；△=0时，图象与x轴只有一个交点；△0时，图象与x辆没有交点。)请同学们讨论：ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的解集与函数y=ax2+bx+c的图象有怎样的关系？

　　（三）归纳提炼，得出“三个二次”的关系

　　1、引导学生根据图象与x轴的相对位置关系，写出相关不等式的解集。

　　2、此时提出：若a0时，怎样求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0？(经讨论之后，有的学生得出：将二次项系数由负化正，转化为上述模式求解，教师应予以强调；也有的学生提出画出相应的二次函数图象，根据图象写出解集，教师应给予肯定。)

　　（四）应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集

　　借助二次函数的图象，得到一元二次不等式的解集，学生形成了感性认识，为巩固所学知识，我们一起来完成以下例题：

　　例1、解不等式2x2－3x－20

　　解：因为Δ0，方程2x2－3x－2=0的解是

　　x1= ，x2=2

　　所以，不等式的解集是

　　{ x| x ，或x2}

　　例1的解决达到了两个目的：一是巩固了一元二次不等式解集的应用；二是规范了一元二次不等式的解题格式。

　　下面我们接着学习课本例2。

　　例2 解不等式－3x2+6x2

　　课本例2的出现恰当好处，一方面突出了“对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解”；另一方面，学生对此例的解答极易出现写错解集(如出现“或”与“且”的错误)。

　　通过例1、例2的解决，学生与我一起总结了解一元二次不等式的一般步骤：一化正—二算△—三求根—四写解集。

　　例3 解不等式4x2－4x+10

　　例4 解不等式－x2+2x－30

　　分别突出了“△=0”、“△0”对不等式解集的影响。这两例由学生练习，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。

　　4道例题，具有典型性、层次性和学生的可接受性。为了避免学生学后“一团乱麻”、“一盘散沙”的局面,我和学生一起总结。

　　（五）总结

　　解一元二次不等式的“四部曲”：

　　(1)把二次项的系数化为正数

　　(2)计算判别式Δ

　　(3)解对应的一元二次方程

　　(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集

　　（六）作业布置

　　为了使所有学生巩固所学知识，我布置了“必做题”；又为学有余力者留有自由发展的空间，我布置了“探究题”。

　　（1）必做题：习题1.5的1、3题

　　（2）探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c0的解集为M，ax2+bx+c0的解集为N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求实数k的取值范围。

　　（七）板书设计

　　一元二次不等式解法（1）

　　五、教学效果评价

　　本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。以“三个一次关系→三个二次关系→一元二次不等式解法”为主线，以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，以“画、看、说、用”为特色，把握重点，突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

高中数学教案2

　　一. 学习目标

　　(1)通过实例体会分布的意义与作用; (2)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图，频率折线图; (3)通过实例体会频率分布直方图，频率折线图，茎叶图的各自特点，从而恰当的选择上述方法分析样本的分布，准确的作出总体估计。

　　二. 学习重点

　　三.学习难点

　　能通过样本的频率分布估计总体的分布。

　　四.学习过程

　　(一)复习引入

　　(1 )统计的核心问题是什么?

　　(2 )随机抽样的几种常用方法有哪些?

　　(3)通过抽样方法收集数据的目的是什么?

　　(二)自学提纲

　　1.我们学习了哪些统计图?不同的统计图适合描述什么样的数据?

　　2.如何列频率分布表?

　　3.如何画频率分布直方图?基本步骤是什么?

　　4.频率分布直方图的纵坐标是什么?

　　5.频率分布直方图中小长方形的面积表示什么?

　　6.频率分布直方图中小长方形的面积之和是多少?

　　(三)课前自测

　　1.从一堆苹果中任取了20只，并得到了它们的质量(单位：g)数据分布表如下：

　　分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120g的苹果数约占苹果总数的.xxx%. 2.关于频率分布直方图，下列说法正确的是( ) a.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率 b.直方图的高表示取某数的频率 c.直方图的高表示该组上的样本中出现的频率与组距的比值 d.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值 3.已知样本：10，8，6，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，11，12，那么频率为0.2的范围是( ) a、5.5-7.5 b、7.5-9.5 c、9.5-11.5 d、11.5-13.5 (四)探究教学 典例：城市缺水问题(自学教材65页~68页)

　　问题1.你认为为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作? 2.如何分析数据?根据这些数据你能得出用水量其他信息吗? 知识整理： 1.频率分布的概念： 频率分布： 频数: 频率：

　　2.画频率分布直方图的步骤： (1).求极差: (2).决定组距与组数 组距: 组数: (3).将数据分组 (4).列频率分布表 (5).画频率分布直方图 问题： .

　　1.月平均用水量在2.5—3之间的频率是多少?

　　2.月均用水量最多的在哪个区间?

　　3.月均用水量小于4.5 的频率是多少?

　　4.小长方形的面积=?

　　5.小长方形的面积总和=?

　　6.如果希望85%以上居民不超出标准,如何制定标准?

　　7.直方图有那些优点和缺点?

　　例题讲解： 例1有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下： [12.5, 15.5) 3 [15.5, 18.5) 8 [18.5, 21.5) 9 [21.5, 24.5) 11 [24.5, 27.5) 10 [27.5, 30.5) 5 [30.5, 33.5) 4 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5)的百分比是多少? (4)数据小于21.5的百分比是多少?

　　3.频率分布折线图、总体密度曲线 问题1：如何得到频率分布折线图 ? 频率分布折线图的概念：

　　问题2：在城市缺水问题中将样本容量为100，增至1000，其频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增至10000呢?

　　总体密度曲线的概念：

　　注：用样本分布直方图去估计相应的总体分布时，一般样本容量越大，频率分布直方图就会无限接近总体密度曲线，就越精确地反映了总体的分布规律，即越精确地反映了总体在各个范围内1.总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。

　　4. 茎叶图 茎叶图的概念： 茎叶图的特征：

　　小结：.总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布;当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。

　　课堂小结：

　　当堂检测：

　　1. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人， 并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步 调查，则 [2500,3000)(元)月收入段应抽取 人。

　　2、为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校200名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图(如图)， 由于不慎将部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数 列，后6组的频数成等差数列，设最多一组学生数为a，视 力在4.6到5.0之间的频率为b，则

　　a+b= . 3.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则ba?=xx. 4.为了了解中学生的身高情况，对育才中学同龄的50名男学生的身高进行了测量，结果如下：(单位：cm)： 175 168 180 176 167 181 162 173 171 177 171 171 174 173 174 175 177 166 163 160 166 166 163 169 174 165 175 165 170 158 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 170 172 165 157 172 173 166 177 169 181

　　(1)列出样本的频率分布表。

　　(2)画出频率分布直方图。

　　(3)画频率分布折线图;

高中数学教案3

　　[学习目标]

　　（1）会用坐标法及距离公式证明Cα+β；

　　（2）会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与相互转化；

　　（3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简单的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。

　　[学习重点]

　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

　　[学习难点]

　　余弦和角公式的推导

　　[知识结构]

　　1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数（证明过程见课本）

　　2、通过下面各组数的.值的比较：①cos（30°—90°）与cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我们应该得出如下结论：一般情况下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。

　　3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。注意两角和与差的三角函数是诱导公式等的基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例。

　　4、关于公式的正用、逆用及变用

高中数学教案4

　　一、单元教学内容

　　(1)算法的基本概念

　　(2)算法的基本结构：顺序、条件、循环结构

　　(3)算法的基本语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句

　　二、单元教学内容分析

　　算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力

　　三、单元教学课时安排：

　　1、算法的基本概念3课时

　　2、程序框图与算法的基本结构5课时

　　3、算法的基本语句2课时

　　四、单元教学目标分析

　　1、通过对解决具体问题过程与步骤的分析体会算法的思想，了解算法的含义

　　2、通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环结构。

　　3、经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句：输入、输出、斌值、条件、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

　　4、通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　五、单元教学重点与难点分析

　　1、重点

　　(1)理解算法的含义(2)掌握算法的基本结构(3)会用算法语句解决简单的实际问题

　　2、难点

　　(1)程序框图(2)变量与赋值(3)循环结构(4)算法设计

　　六、单元总体教学方法

　　本章教学采用启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。采用这些方法的原因是学生的逻辑能力不是很强，只能通过对实例的认真领会及一定的练习才能掌握本节知识。

　　七、单元展开方式与特点

　　1、展开方式

　　自然语言→程序框图→算法语句

　　2、特点

　　(1)螺旋上升分层递进(2)整合渗透前呼后应(3)三线合一横向贯通(4)弹性处理多样选择

　　八、单元教学过程分析

　　1.算法基本概念教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过对解决具体问题过程与步骤的分析(喝茶，如二元一次方程组求解问题)，体会算法的思想，了解算法的含义，能用自然语言描述算法。

　　2.算法的流程图教学过程分析

　　对生活中的实际问题通过模仿、操作、探索，经历通过设计流程图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区别;在具体问题的.解决过程中，理解流程图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环，会用流程图表示算法。

　　3.基本算法语句教学过程分析

　　经历将具体生活中问题的流程图转化为程序语言的过程，理解表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。能用自然语言、流程图和基本算法语句表达算法，

　　4.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

　　九、单元评价设想

　　1.重视对学生数学学习过程的评价

　　关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣;在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征;是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。

　　2.正确评价学生的数学基础知识和基本技能

　　关注学生在本章(节)及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法

高中数学教案5

　　一、教学目标

　　1、知识与能力目标

　　①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。

　　②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e—N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。

　　③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

　　2、过程与方法目标

　　培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。

　　3、情感、态度、价值观目标

　　使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

　　二、教学重点和难点

　　教学重点：数列极限的概念和定义。

　　教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。

　　三、教学对象分析

　　这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε—N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。

　　四、教学策略及教法设计

　　本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。

　　五、教学过程

　　1、创设情境

　　课件展示创设情境动画。

　　今天我们将要学习一个很重要的新的知识。

　　情境

　　（1）我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

　　情境

　　（2）我国古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之？如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完？

　　大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。

　　2、定义探究

　　展示定义探索（一）动画演示。

　　问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点？

　　（1）1/2，2/3，3/4，n/n—1

　　（2）0.9，0.99，0.999，0.9999，1—1/10n

　　问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的'增大项有那些特点？

　　师生一起归纳总结出以下结论：数列（1）项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列（2）项数n无限增大时，项无限趋近于1。

　　那么就把1叫数列（1）的极限，1叫数列（2）的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。

　　那么，什么叫数列的极限呢？对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。

　　提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢？怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势？

　　展示定义探索（二）动画演示。

　　师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O—1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0.0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列（1）的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量（用这些量来描述数列1的极限）。

　　数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an—A｜n的极限。

　　课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。

　　定义探索动画（二）课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和Ian一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。

　　3、知识应用

　　这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。

　　例1、已知数列：

　　1，—1/2，1/3，—1/4，1/5，（—1）n+11/n，（1）计算an—0（2）第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。

　　（3）确定这个数列的极限。

　　例2、已知数列：

　　已知数列：3/2，9/4，15/8，2+（—1/2）n。

　　猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数？并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017

　　例3、求常数数列一7，一7，一7，一7，的极限。

　　4、知识小结

　　这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。

　　课后练习：

　　（1）判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4—（1/3）m；③an=（—1）n/3n；④aan=—2；⑤an=n；⑥an=（—1）n。

　　（2）课本练习1，2。

　　5、探究性问题

　　设计研究性学习的思考题。

　　提出问题：

　　芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O。1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗？

　　这里是研究性学习内容，以学生感兴趣的悖论作为课后作业，巩固本节所学内容，进一步提高了学生学习数列的极限的兴趣。同时也为学生创设了课下交流与讨论的情境，逐步培养学生相互合作、交流和讨论的习惯，使学生感受到了数学来源于生活，又服务于生活的实质，逐步养成用数学的知识去解决生活中遇到的实际问题的习惯。

高中数学教案6

　　整体设计

　　教学分析

　　我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

　　教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。

　　本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

　　根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

　　三维目标

　　1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

　　2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

　　3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

　　4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。

　　重点难点

　　教学重点

　　（1）分数指数幂和根式概念的理解。

　　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。

　　（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

　　教学难点

　　（1）分数指数幂及根式概念的理解。

　　（2）有理指数幂性质的灵活应用。

　　课时安排

　　3课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：路致芳

　　导入新课

　　思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

　　（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

　　（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

　　（4）可否用一个式子表达呢？

　　活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

　　讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

　　（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

　　（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

　　（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

　　教师板书n次方根的意义：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。

　　可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出问题

　　（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

　　①4的平方根；②±8的立方根；③16的`4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　　（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

　　（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

　　（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

　　活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

　　讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

　　（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

　　（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

　　类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

　　①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字语言可用下面的式子表示：

　　a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

　　a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

　　零的n次方根为零，记为n0=0.

　　可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

　　思考

　　根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

　　活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

　　如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

　　通过探究得到：n为奇数，nan=a.

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我们得到n次方根的运算性质：

　　①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

　　②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值。

　　应用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　　（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　　（2）(-10)2=10;

　　（3)4(3-π）4=π-3;

　　（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

　　变式训练

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

　　(3)4(3a-3)4=

　　点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。

　　思路2

　　例1下列各式中正确的是（）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

　　(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

　　(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

　　(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.

　　答案：D

　　点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。

　　解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

　　3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

　　思考

　　上面的例2还有别的解法吗？

　　活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

　　另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

　　两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　变式训练

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

　　解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

　　即a-1≥0，

　　所以a≥1.

　　点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。

　　知能训练

　　（教师用多媒体显示在屏幕上）

　　1、以下说法正确的是（）

　　A.正数的n次方根是一个正数

　　B.负数的n次方根是一个负数

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）

　　答案：C

　　2、化简下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、计算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

　　活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

　　通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

　　当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

　　即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。

　　点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

　　课堂小结

　　学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

　　（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作业

　　课本习题2.1A组1.

　　补充作业：

　　1、化简下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因为5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，

　　不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　设计感想

　　学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a=0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

　　第2课时

　　作者：郝云静

　　导入新课

　　思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）整数指数幂的运算性质是什么？

　　（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，

　　①；

　　②a8=(a4)2=a4=，；

　　③4a12=4(a3)4=a3=；

　　④2a10=2(a5)2=a5= 。

　　（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

　　，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。

　　（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

　　（5）你能推广到一般的情形吗？

　　活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

　　讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　　（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

　　根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

　　（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

　　结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

　　（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

　　规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　提出问题

　　（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

　　（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

　　（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

　　（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

　　（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

　　（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

　　活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。

　　讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　　（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

　　规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　　（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

　　正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？

　　如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。

　　（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

　　应用示例

　　例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

　　活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。

　　解：(1) =22=4;

　　（2）=5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　　（4）=23-3=278.

　　点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

　　例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。

　　解：a3?a=a3? =；

　　a2?3a2=a2? =；

　　a3a= 。

　　点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

　　例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

　　（1）；

　　（2）。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　　（2）=m2n-3=m2n3.

　　点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。

　　本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

　　变式训练

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4计算下列各式：

　　（1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3

　　【补充练习】

　　教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

　　1、(1)下列运算中，正确的是（）

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　　（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　　（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　　（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

　　A. B.

　　C. D.

　　（5）化简的结果是（）

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　　（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解：。

　　因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因为x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化简：。

　　活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：

　　x-1= -13=；

　　x+1= +13=；

　　。

　　构建解题思路教师适时启发提示。

　　解：

　　=

　　=

　　=

　　= 。

　　点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，

　　=a-b，

　　=a± +b，

　　=a±b.

　　2、已知，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　　（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　　（3）由于，

　　所以有=a+a-1+1=8.

　　点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。

　　课堂小结

　　活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：

　　（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　（4）说明两点：

　　①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

　　②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。

　　作业

　　课本习题2.1A组2,4.

　　设计感想

　　本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。

　　第3课时

　　作者：郑芳鸣

　　导入新课

　　思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。

　　思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　　（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？

　　2的过剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　　（3）你能给上述思想起个名字吗？

　　（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？

　　（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

　　活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：

　　问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。

　　问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。

　　问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。

　　问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。

　　问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。

　　讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。

　　（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。

　　第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。

　　从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明是一个实数。

　　（3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。

　　（4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。

　　（5）无理数指数幂的意义：

　　一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

　　也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。

　　提出问题

　　（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？

　　（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？

　　（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？

　　活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。

　　对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。

　　对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。

　　对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。

　　讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。

　　（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

　　①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。

　　②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。

　　③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。

　　（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。

　　实数指数幂的运算性质：

　　对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　应用示例

　　例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。

　　活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；

　　对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；

　　对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。

　　学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。

　　例2求值或化简。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　　（2）(a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。

高中数学教案7

　　一、教材分析

　　1、教材地位和作用：二面角是我们日常生活中经常见到的、很普通的一个空间图形。“二面角”是人教版《数学》第二册（下B）中9.7的内容。它是在学生学过两条异面直线所成的角、直线和平面所成角、又要重点研究的一种空间的角，它是为了研究两个平面的垂直而提出的一个概念，也是学生进一步研究多面体的基础。因此，它起着承上启下的作用。通过本节课的学习还对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。

　　2、教学目标:

　　知识目标：（1）正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。

　　（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。

　　能力目标：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。

　　德育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生应用数学的意识(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

　　情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。

　　3、重点、难点：

　　重点：“二面角”和“二面角的平面角”的概念

　　难点：“二面角的平面角”概念的形成过程

　　二、教法分析

　　1、教学方法：在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法，在新课探究中采用问题启导、活动探究和类比发现法，在形成技能时以训练法、探究研讨法为主。

　　２、教学控制与调节的措施：本节课由于充分运用了多媒体和实物教具，预计学生对二面角及二面角平面角的概念能够理解，根据学生及教学的实际情况，估计二面角的具体求法一节课内完成有一定的困难，所以将其放在下节课。

　　3、教学手段：教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用多媒体课件来辅助教学；此外，为加强直观教学，还要预先做好一些二面角的模型。

　　三、学法指导

　　1、乐学：在整个学习过程中学生要保持强烈的.好奇心和求知欲，不断强化自己的创新意识，全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。

　　2、学会：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构。

　　3、会学：通过自己亲身参与，学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法，从而既学到知识，又学会创新，既能解决问题，更能发现问题。

　　四、教学过程

　　心理学研究表明，当学生明确数学概念的学习目的和意义时，就会对概念的学习产生浓厚的兴趣。创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创新思维的氛围。

　　（一）、二面角

　　1、揭示概念产生背景。

　　问题情境1、在平面几何中“角”是怎样定义的？

　　问题情境2、在立体几何中我们还学习了哪些角？

　　问题情境3、运用多媒体和身边的实例，展示我们遇到的另一种空间的角——二面角（板书课题）。

　　通过这三个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲。2、展现概念形成过程。

　　问题情境4、那么，应该如何定义二面角呢？

　　创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。教师应注意多让学生说，对于学生的创新意识和创新结果，教师要给与积极的评价。

　　问题情境5、同学们能举出一些二面角的实例吗？通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。

　　（二）、二面角的平面角

　　1、揭示概念产生背景。平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量。说明二面角不仅有大小，而且其大小是唯一确定的。平面

　　与平面的位置关系，总的说来只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，我们有必要来研究二面角的度量问题。

　　问题情境6、二面角的大小应该怎么度量？能否转化为平面角来处理？这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。

　　2、展现概念形成过程

　　（1）、类比。教师启发，寻找类比联想的对象。

　　问题情境7、我们以前碰到过类似的问题吗？引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义，电脑演示以提高效率。

　　问题情境8、两定义的共同点是什么？生：空间角总是转化为平面的角，并且这个角是唯一确定的。

　　问题情境9、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的？

　　（2）、提出猜想：二面角的大小也可通过平面的角来定义。对学生提出的猜想，教师应该给予充分的肯定，以培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。

　　问题情境10、那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢？生：顶点放在棱上，两边分别放在两个面内。这也是学生直觉思维的结果。

　　（3）、探索实验。通过实验，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力。

　　（4）、继续探索，得到定义。

　　问题情境11、那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？师生共同探讨后发现，角的顶点确定后，要使此角的大小唯一确定，只须使它的两条边在平面内唯一确定，联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性，由此发现二面角的大小的一种描述方法。

　　（5）、自我验证：要求学生阅读课本上的定义。并说明定义的合理性，教师作适当的引导，并加以理论证明。

　　（三）、二面角及其平面角的画法

　　主要分为直立式和平卧式两种，用电脑《几何画板》作图。

　　（四）、范例分析

　　为巩固学生所学知识，由于时间的关系设置了一道例题。来源于实际生活，不但培养了学生分析问题和解决问题的能力，也让学生领会到数学概念来自生活实际，并服务于生活实际，从而增强他们应用数学的意识。

　　例：一张边长为10厘米的正三角形纸片ABc，以它的高AD为折痕，折成一个1200二面角，求此时B、c两点间的距离。

　　分析：涉及二面角的计算问题，关键是找出（或作出）该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质，最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做，为调动学生的积极性，并增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。

　　变式训练：图中共有几个二面角？能求出它们的大小吗？根据课堂实际情况，本题的变式训练也可作为课后思考题。

　　题后反思：（1）解题过程中必须证明∠BDc是二面角B—AD—c的平面角。

　　（2）求二面角的平面角的方法是：先找（或作）——后证——再解（三角形）

　　（五）、练习、小结与作业

　　练习：习题９．７的第３题

　　小结在复习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统。同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。

　　作业：习题９．７的第４题

　　思考题：见例题

　　五、板书设计（见课件）

　　以上是我对《二面角》授课的初步设想，不足之处，恳请大家批评指正，谢谢！

高中数学教案8

　　教学目标

　　理解数列的概念，掌握数列的运用

　　教学重难点

　　理解数列的概念，掌握数列的运用

　　教学过程

　　【知识点精讲】

　　1、数列：按照一定次序排列的一列数(与顺序有关)

　　2、通项公式：数列的.第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)。

　　(通项公式不)

　　3、数列的表示:

　　(1)列举法:如1,3,5,7,9……;

　　(2)图解法:由(n,an)点构成;

　　(3)解析法:用通项公式表示,如an=2n+1

　　(4)递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=1,an=1+2an-1

　　4、数列分类：有穷数列，无穷数列;递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列;有界数列，xx数列

　　5、任意数列{an}的前n项和的性质

高中数学教案9

　　三维目标：

　　1、知识与技能：正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤;

　　2、过程与方法：

　　(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题;

　　(2)在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。

　　3、情感态度与价值观：通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性。

　　4、重点与难点：正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。

　　教学方法：

　　讲练结合法

　　教学用具：

　　多媒体

　　课时安排：

　　1课时

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　假设你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做?显然，你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。(为什么?)那么，应当怎样获取样本呢?

　　二、探究新知

　　1、统计的有关概念：总体：在统计学中,所有考察对象的全体叫做总体、个体：每一个考察的对象叫做个体、样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本、样本容量：样本中个体的数目叫做样本的容量、统计的基本思想：用样本去估计总体、

　　2、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

　　下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么?

　　(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

　　(2)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子。

　　(3)从8台电脑中，不放回地随机抽取2台进行质量检查(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)

　　3、常用的简单随机抽样方法有：

　　(1)抽签法的定义。一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。

　　思考?你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗?例1、若已知高一(6)班总共有57人，现要抽取8位同学出来做游戏，请设计一个抽取的方法，要使得每位同学被抽到的机会相等。

　　分析：可以把57位同学的学号分别写在大小，质地都相同的纸片上，折叠或揉成小球，把纸片集中在一起并充分搅拌后，在从中个抽出8张纸片，再选出纸片上的学号对应的同学即可、基本步骤：第一步：将总体的所有N个个体从1至N编号;第二步：准备N个号签分别标上这些编号，将号签放在容器中搅拌均匀后每次抽取一个号签，不放回地连续取n次;第三步：将取出的n个号签上的号码所对应的n个个体作为样本。

　　(2)随机数法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法，这里仅介绍随机数表法。怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，799。

　　第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的`数7(为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一个三位数785，由于785<799，说明号码785在总体内，将它取出;

　　继续向右读，得到916，由于916>799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。

　　三、课堂练习

　　四、课堂小结

　　1、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

　　2、简单随机抽样的方法：抽签法随机数表法

　　五、课后作业

　　P57练习1、2

　　六、板书设计

　　1、统计的有关概念

　　2、简单随机抽样的概念

　　3、常用的简单随机抽样方法有：(1)抽签法(2)随机数表法

　　4、课堂练习

高中数学教案10

　　一、教学目标：

　　掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

　　二、教学重点：

　　向量的性质及相关知识的`综合应用。

　　三、教学过程：

　　（一）主要知识：

　　1、掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

　　（二）例题分析：略

　　四、小结：

　　1、进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，

　　2、渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力。

　　五、作业：

　　略

高中数学教案11

　　1.教学目标

　　(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

　　2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.

　　(2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

　　2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

　　3.增强学生用数学的意识.

　　(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

　　2.教学重点.难点

　　(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.

　　(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

　　当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

　　3.教学过程

　　(一)创设情境(启迪思维)

　　问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

　　[引导] 画图建系

　　[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)

　　解:以某一截面半圆的'圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

　　将x=2.7代入,得 .

　　即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

　　(二)深入探究(获得新知)

　　问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为 的圆的方程?

　　答:x2 y2=r2

　　2.如果圆心在 ,半径为 时又如何呢?

　　[学生活动] 探究圆的方程。

　　[教师预设] 方法一:坐标法

　　如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}

　　由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为 ①

　　把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

　　方法二:图形变换法

　　方法三:向量平移法

　　(三)应用举例(巩固提高)

　　i.直接应用(内化新知)

　　问题三:1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)

　　(1)圆心在原点,半径为3;

　　(2)圆心在 ,半径为 ;

　　(3)经过点 ,圆心在点 .

　　2.根据圆的方程写出圆心和半径

　　(1) ; (2) .

　　ii.灵活应用(提升能力)

　　问题四:1.求以 为圆心,并且和直线 相切的圆的方程.

　　[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

　　2.已知圆的方程为 ,求过圆上一点 的切线方程.

　　[学生活动]探究方法

　　[教师预设]

　　方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直)

　　方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程)

　　方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示]

　　方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式)

　　3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

　　已知圆的方程是 ,经过圆上一点 的切线的方程是: .

　　iii.实际应用(回归自然)

　　问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱 的长度(精确到0.01m).

　　[多媒体课件演示创设实际问题情境]

　　(四)反馈训练(形成方法)

　　问题六:1.求以c(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.

　　2.已知点a(-4,-5),b(6,-1),求以ab为直径的圆的方程.

　　3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程.

　　4.已知圆的方程为 ,求过点 的切线方程.

高中数学教案12

　　教学要求：

　　理解曲线交点与方程组的解的关系，掌握直线与曲线位置关系的讨论，能熟练地求曲线交点。

　　教学重点：

　　熟练地求交点。

　　教学过程：

　一、复习准备：

　　1、直线A x＋B＋C＝0与直线A x＋B＋C＝0，平行的充要条件是xx，相交的充要条件是xx；

　　重合的充要条件是xx，垂直的充要条件是xx。

　　2、知识回顾：充分条件、必要条件、充要条件。

二、讲授新课：

　　1、教学例题：

　　①出示例：求直线＝x＋1截曲线＝x所得线段的中点坐标。

　　②由学生分析求解的思路→学生练→老师评讲

　　（联立方程组→消用韦达定理求x坐标→用直线方程求坐标）

　　③试求→订正→小结思路。→变题：求弦长

　　④出示例：当b为何值时，直线＝x＋b与曲线x＋＝4分别相交？相切？相离？

　　⑤分析：三种位置关系与两曲线的交点情况有何关系？

　　⑥学生试求→订正→小结思路。

　　⑦讨论其它解法？

　　解一：用圆心到直线的距离求解；

　　解二：用数形结合法进行分析。

　　⑧讨论：两条曲线F（x，）＝0与F（x，）＝0相交的`充要条件是什么？

　　如何判别直线Ax＋B＋C＝0与曲线F（x，）＝0的位置关系？

　　（联立方程组后，一解时：相切或相交；二解时：相交；无解时：相离）

　　2、练习：

　　求过点（—2，—）且与抛物线＝x相切的直线方程。

三、巩固练习：

　　1、若两直线x＋＝3a，x－＝a的交点在圆x＋＝5上，求a的值。

　　（答案：a＝±1）

　　2、求直线＝2x＋3被曲线＝x截得的线段长。

　　3、课堂作业：书P72 3、4、10题。

高中数学教案13

　　教学目标：

　　1。通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进

　　学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。

　　2。通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高。

　　教学重点：

　　如何建立实际问题的目标函数是教学的重点与难点。

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　问题1把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？

　　问题2把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

　　问题3做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

　　二、新课引入

　　导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法，可以求出实际生活中的某些最值问题。

　　1。几何方面的应用（面积和体积等的最值）。

　　2。物理方面的应用（功和功率等最值）。

　　3。经济学方面的应用（利润方面最值）。

　　三、知识建构

　　例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

　　说明1解应用题一般有四个要点步骤：设——列——解——答。

　　说明2用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极

　　值及端点值比较即可。

　　例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才

　　能使所用的材料最省？

　　变式当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

　　说明1这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数。

　　说明2用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：

　　S1列：列出函数关系式。

　　S2求：求函数的导数。

　　S3述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最大（小）值，必要时作答。

　　例3在如图所示的电路中，已知电源的内阻为，电动势为。外电阻为

　　多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

　　说明求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解。

　　例4强度分别为a，b的两个光源A，B，它们间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源的距离的'平方成反比）。

　　例5在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为；出售单位产品的收益称为收益函数，记为；称为利润函数，记为。

　　（1）设，生产多少单位产品时，边际成本最低？

　　（2）设，产品的单价，怎样的定价可使利润最大？

　　四、课堂练习

　　1。将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和___。

　　2。在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大。

　　3。有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？

　　4。一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b。

　　五、回顾反思

　　（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。

　　（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。

　　（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单。

　　六、课外作业

　　课本第38页第1，2，3，4题。

高中数学教案14

　　一、预习目标

　　预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

　　二、预习内容

　　阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

　　1、例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？

　　2、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？

　　3、例3中，

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　三、提出疑惑

　　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容。

　　课内探究学案

　　一、学习内容

　　1、运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题。

　　2、运用向量的有关知识解决简单的物理问题。

　　二、学习过程

　　探究一：

　　（1）向量运算与几何中的结论"若，则，且所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会？

　　（2）举出几个具有线性运算的几何实例。

　　例1、证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

　　已知：平行四边形ABCD。

　　求证：

　　试用几何方法解决这个问题，利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

　　（1）建立平面几何与向量的联系，

　　（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

　　（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

　　例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

　　探究二：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。这些力的问题是怎么回事？

　　例3，在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

　　请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　例4如图，一条河的两岸平行，河的.宽度m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0。1min）？

　　变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s；（2）计算s在方向上的投影。

　　三、反思总结

　　结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题。

　　代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

　　本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

高中数学教案15

　　教学目的：掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题

　　教学重点：圆的标准方程及有关运用

　　教学难点：标准方程的灵活运用

　　教学过程：

　　一、导入新课，探究标准方程

　　二、掌握知识，巩固练习

　　练习：⒈说出下列圆的方程

　　⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3

　　⒉指出下列圆的圆心和半径

　　⑴（x-2）2+(y+3)2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2-6x+4y+12=0

　　⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系

　　⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程

　　三、引伸提高，讲解例题

　　例1、圆心在y=-2x上，过p(2，-1)且与x-y=1相切求圆的`方程（突出待定系数的数学方法）

　　练习：1、某圆过(-2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。

　　2、某圆过A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圆的方程。

　　例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

　　例3、点M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程(一题多解，训练思维)

　　四、小结练习P771，2，3，4

　　五、作业P811，2，3，4

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