角的概念的推广（通用2篇）
角的概念的推广 第1篇
课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。教学难点：终边相同的角的表示内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。教学过程：一、复习引入：1.回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是 ，但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于“狭隘”。2.生活中很多实例会不在范围 如：体操运动员转体 ，跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围 ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。二、讲解新课： 1.⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点.突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵.“正角”与“负角”“零角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角.记法：角 或 可以简记成 。⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1° 角有正负之分 如：a=210° b=-150° g=660°2° 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°）3° 还有零角 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角.要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。2.“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,我们称其为界限角）下面由学生自己分别举出终边在一、二、三、四象限的角以及界限角(各举两例)例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。3.终边相同的角 ⑴观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与 个周角的和： 390°=30°+ 360° -330°=30°-360° 30°=30°+0×360° 对于任意一个角，若其终边与 相同，那么它们之间都相差360°的整数倍，则， ，， ，， 等它们的始边和终边都相同。⑶结论：所有与角 终边相同的角连同a在内可以构成一个集合： （即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。）⑷注意以下四点：(1) ； (2) a是任意角；(3) 与a之间是“+”号，如 -30°，应看成 +(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.三、讲解范例：例1：写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角（1） （2） （3） （4） 解：（1）与 终边相同的角的集合是 因为 是第一象限角，所以集合 中的角都是第一象限的角。 （2）与 终边相同的角的集合是 因为 是第二象限角，所以集合 中的角都是第二象限的角。（3）与 终边相同的角的集合是 因为 是第三象限角，所以集合 中的角都是第三象限的角。（4）与 终边相同的角的集合是 因为 是第四象限角，所以集合 中的角都是第四象限的角。四、课堂练习：1.锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角故它不一定是锐角) 2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°.(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 作图时应注意：顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上（图略）五、小结： 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是学习终边相同的角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”； “小于90°的角”“第一象限角”和“锐角”的不同意义.六、课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.第一象限的角一定不是负角 B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋k·360°（k∈Z），则α与β终边相同2.下列角中,与 终边相同的角是( )A. B. C. D. 3.如果 ，那么角 是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角4.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180° B.α＋β＝0° C.α－β＝k·360°，k∈ZD.α＋β＝k·360°，k∈Z5.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).6.在直角坐标系中，作出下列各角,并判断各为第几象限角(或界限角).(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°参考答案：1.D 2.B 3.C 4.C 5. －120°－1440°6.(略)
角的概念的推广 第2篇
教学目标
1.理解引入大于 角和负角的意义.
2.理解并掌握正、负、零角的定义.
3.掌握终边相同角的表示法.
4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.
重点难点
1.理解并掌握正、负、零角的定义.
2.掌握终边相同角的表示法.
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
1.设置情境
设置实例（1）用扳手拧螺母（课件）；（2）跳水运动员身体旋转（视频）.说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法.
2.探索研究
（1）正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置 ，绕着它的端点 ，按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角，如图中角 ；把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角，如图中的 ；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角规定为零角，与初中所学角概念一样， 、 ，点 分别叫该角的始边、终边、角顶点.
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在 轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为轴上角.
③我们作出 ， 及 三个角，易知，它们的终边相同。还可以看出， ， 的终边也是与 角终边重合的，而且可以理解，与 角终边相同的角，连同 在内，可以构成一个集合，记作 .一般地，我们把所有与角 终边相同的角，连同角 在内的一切角，记成 ， 或写成集合 形式.
（2）例题分析
【例1】在 ～ 间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）∵
∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
（3）
所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角.
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值.
练习：（学生板演，可用投影给题）
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.
（2）集合 中，各角的终边都在（ ）
A. 轴正半轴上，
B. 轴正半轴上，
C. 轴或 轴上，
D. 轴正半轴或 轴正半轴上
解答：（1） （2）C
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来：
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）
中适合 的元素是
（2）
满足条件的元素是
（3）
中适合元素是
说明：与角 终边相同的角，连同 在内可记为 ， 这里
（1） ； （2） 是任意角；
（3） 与 之间是“＋”连接，如 应看做 ；
（4）终边相同角不一定相等，但相等的角终边必相同，终边相同的角有无数个，它们彼此相差 的整数倍；
（5）检查两角 ， 终边是否相同，只要看 是否为整数.
练习：（学生口答：用投影给出题）
（1）请用集合表示下列各角.
① ～ 间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.
（2）分别写出：
①终边落在 轴负半轴上的角的集合；
②终边落在 轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合.
解答（1）① ；
② ；
③ ；④
（2）① ；
② ；
③ ；
④ .
说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 .
【例3】用集合表示：
（1）第三象限角的集合.
（2）终边落在 轴右侧的角的集合.
解：（1）在 ～ 中，第三象限角范围为 ，而与每个 角终边相同的角可记为 ， ，故该范围中每个角适合 ， ，故第三象限角集合为 .
（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 .
说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠.
3.练习反馈
（1）与 的终边相同且绝对值最小的角是______________.
（2）若角 与角 的终边重合，则 与 的关系是___________，若角 与角 的终边在一条直线上，则 与 的关系是____________.
（3）若 是第四象限角，则 是（ ）.
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：（1） ；
（2） ， ， ；
（3）C
4.总结提炼
判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可.另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
课时作业
1.在 到 范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角
（1） （2） （3） （4）
2.写出终边在 轴上的角的集合（用 ～ 的角表示）
3.写出与 终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 的元素 写出来.
4.时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________.
5.写出终边在直线 上的角的集合，并给出集合中介于 和 之间的角.
6.角 是 ～ 中的一个角，若角 与 角有相同始边，且又有相同终边，则角 .
参考答案：
1.（1） （2） （3） （4）
2.
3. ， 或
4. ，
5. ， 或
6.
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