教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， = ， = .
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时 （二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 = ，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论.
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.
（七）作业：教材P84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
学生分析，教师适当点拨.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
（四）小结：
1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
垂直于弦的直径 第2篇
------垂径定理
【教学内容】 垂径定理
【教学目标】
1.知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2.能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3.情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一复习提问
1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？
2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.
3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.
4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
二、实例导入，激疑引趣
1.实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2.导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 （图1幻灯片放映）
三、尝试诱导，发现定理
（一）学生活动
1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e.
2教师用电脑演示重叠的过程。
提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
⌒
⌒
⌒
⌒
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd.
（2）ae=be，ad=bd ac=bc
（二）引导探究，证明定理
1.引导证明：
引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2.归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.巩固定理：
a
d
在下列图形能否利用“垂径定理”得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习
1.运用定理解决赵州桥的问题。
〖例1〗 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，
⌒
⌒
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少 ？
o
d
a
c
r
⌒
分析：如图，用ab 表示主桥拱，设 ab 所在圆的圆心为o，半径为r.经过圆心o 作弦ab 的垂线oc，d为垂足，oc与ab 相交于点d，根据前面的结论，d 是ab 的中点，c是 ab 的中点，cd 就是拱高
在图中ab=37.4，cd=7.2
b
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即 r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
e
b
a
例2 如图，在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.
解
答：⊙o的半径为5cm.
五小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课
① 学习了一个与圆有关的重要定理，定 理的内容是什么？
② 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？
归纳：
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
则它有以下性质
（1）平分弦；
（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
六作业
1教材88页练习1，2题
2教材95页习题24.1 7、8、9；
垂直于弦的直径 第3篇
第一课时 垂直于弦的直径(一)
教学目标:
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
难点:垂径定理的证实.
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
(二)垂径定理及证实:
已知:在⊙o中,cd是直径,ab是弦,cd⊥ab,垂足为e.
求证:ae=eb, = , = .
证实:连结oa、ob,则oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直线cd是等腰△oab的对称轴,又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时,cd两侧的两个半圆重合,a点和b点重合,ae和be重合, 、 分别和 、 重合.因此,ae=be, = , = .从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
cd为⊙o的直径,cd⊥ab ae=eb, = , = .
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
(三)应用和练习
例1、如图,已知在⊙o中,弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径.
分析:要求⊙o的半径,连结oa,只要求出oa的长就可以了,因为已知条件点o到ab的距离为3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此时解rt△aoe即可.
解:连结oa,作oe⊥ab于e.
则ae=eb.
∵ab=8cm,∴ae=4cm.
又∵oe=3cm,
在rt△aoe中,
(cm).
∴⊙o的半径为5 cm.
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2
例2、 已知:如图,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.(证实略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1:教材p78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
(四)小节与反思
教师组织学生进行:
知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
(五)作业
教材p84中11、12、13.
第二课时 垂直于弦的直径(二)
教学目标:
(1)使学生把握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
(3)渗透一般到非凡,非凡到一般的辩证关系.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
难点:垂径定理的推论1.
学习活动设计:
(一)分解定理(对定理的剖析)
1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析:
(教师指导)
(二)新组合,发现新问题:(a层学生自己组合,小组交流,b层学生老师引导)
, ,……(包括原定理,一共有10种)
(三)探究新问题,归纳新结论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习:
练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)
练习2、按图填空:在⊙o中,
(1)若mn⊥ab,mn为直径,则________,________,________;
(2)若ac=bc,mn为直径,ab不是直径,则则________,________,________;
(3)若mn⊥ab,ac=bc,则________,________,________;
(4)若 = ,mn为直径,则________,________,________.
(此题目的:巩固定理和推论)
(五)应用、反思
例、四等分 .
(a层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
教材p80中的第3题图,是典型的错误作.
此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材p80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的熟悉及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
(六)小结:
知识:垂径定理的两个推论.
能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
(七)作业:教材p84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的:
⑴要求学生把握垂径定理及其推论,会解决有关的证实,计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点:如何进行辅助线的添加
教学内容:
(一)复习
1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2
3.常添加的辅助线:(学生归纳)
⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .构造直角三角形
4.可用于证实:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
例2、已知:⊙o的半径为5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab与cd间的距离.(让学生画图)
解:分两种情况:
(1)当弦ab、cd在圆心o的两侧
过点o作ef⊥ab于e,连结oa、oc,
又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作辅助线是难点,学生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,错误的结论)
由ef过圆心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,
在rt△oea中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:of=3
∴ef=oe of=4 3=7.
(2)当弦ab、cd在圆心o的同侧
同(1)的方法可得:oe=4,of=3.
∴.
说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知:如图,ab是⊙o的弦,半径oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的长.
解:(略,过o作oe⊥ae于e ,过b作bf⊥oc于f ,连结ob.bc = )
说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
(三)应用练习:
p8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽ab=600mm,求油的最大深度.
学生分析,教师适当点拨.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
(四)小结:
1. 垂径定理及其推论的应用注重指明条件.
2. 应用定理可以证实的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业:教材p84中15、16题,p85中b组2、3题.
探究活动
如图,直线mn与⊙o交于点a、b,cd是⊙o的直径,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.
(1)线段ae、bf之间存在怎样的关系?线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)当直线cd的两个端点在mn两侧时,上述关系是否仍能成立?假如不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=2oh不能成立.ce、df、oh之间应满足)
垂直于弦的直径 第4篇
教学目标1、使学生掌握垂径定理的两个推论；2、会利用推论1作一些简单的作图题.3、继续培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能；教学重点： 垂径定理的两个推论.教学难点：垂径定理的推论1.教学过程：一、新课引入：同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理.请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论.这时教师引导学生观察.若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧.将（2）和（3）对调，得到一个命题，将（1）和（3）对调，得到一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又得到一个命题.接着又将直径cd旋转到和弦ab平行时，又出现一个新命题.这时教师点题.“9.3垂直于弦的直径（二）”.刚才得到的四个命题，就是我们本节要学习的垂径定理的两个推论.教师这样做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，就是在原来定理的题设和结论做一小小的调换而得到的，使学生感觉新知识不新，容易产生兴趣，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中.二、新课讲解：为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2.而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论1.再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦ab平行时，又得到一个新命题，也就是推论2.这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性.这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性.同时又增强了学生应用数学的意识.学习提问：请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论.学生回答，教师板书，画出图形.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.题 设 结 论将②和③对调，可得新命题为：
由于一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的.所以得到上面命题的结论，必须加上“弦不是直径”这一条件.教师用文字叙述为：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；将①和③对调，又得新命题为：④直线cd平分acb，⑤直线cd平分adb.从而得到：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.以上三条是垂径定理的推论1；请同学继续观察，当直径cd旋转与弦ab平行时，可得新的命题为：
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.教师引导学生回述证明过程.数学表述成为：ab∥cd = .接着做练习：练习1：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？练习2：按图7-14填空：在⊙o中，
（1）若mn⊥ab，mn为直径，则______，______，______；（2）若ac=bc，mn为直径，ab不是直径，则______，______，______；（3）若mn⊥ab，ac=cb，则______，______，（4）若 = ，mn为直径，则______，______，______.这两个练习题学生回答，学生评价.练习题做完后教师接着讲例3.例3 平分已知弧 .教师引导学生回答已知，求作.
已知： .求作： 的中点.分析：要将 两等分，如何确定 的中点呢？学生在教师的启发下，想出作圆的方法，这时教师进一步提出问题；连结ab，作ab的垂直平分线交 于点e，为什么可以说e点是 的中点呢？根据什么？作图由学生自己完成.教师这样做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过积极思考得到解决办法，这样理解深刻，不容易出错.练习3：p.80中3（由学生完成）略.三、课堂小结：本节课主要学习了垂径定理的两个推论.利用推论1举出平分弧的作图.四、布置作业p.84中14题.补充作业：1.已知：如图7-15，ab为⊙o的直径，cd为弦，ec⊥cd，fd⊥cd，垂足分别为c，d.求证：ae=bf.
2.已知：如图7-16，ab为⊙o直径，cd为弦，ae⊥cd，bf⊥cd，垂足分别为e，f.求证：（1）cf=de（2）∠oef=zofe
垂直于弦的直径 第5篇
第一课时 （一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， =， =.
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， =， =.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时 （二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 =，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论.
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.
（七）作业：教材P84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
学生分析，教师适当点拨.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
（四）小结：
1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
垂直于弦的直径 第6篇
教学目标： 1、使学生能够熟练掌握垂径定理及两个推论；2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算.3、通过例4的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识；教学重点： 垂径定理及推论的应用.教学难点：实际问题转化为数学问题.教学过程：一、新课引入：这节课的主要内容是应用题例4，例4是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它要求学生用数学的理论、思想、方法建立实际问题的数学模型，以解决实际问题.这对进一步培养学生分析问题和解决问题有很大的帮助.本节课就是引导学生把例4的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决.为了进一步理解运用垂径定理解决实际问题，教师有目的地安排两组复习题，启发学生进行回答.复习提问：1.垂径定理内容是什么？2.判断题：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（ ）②弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧；（ ）③经过弦中点的直径一定垂直于弦；（ ）④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦一定平行；（ ）⑤平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦.（ ）学生回答的对错，由学生之间评价，从而得到正确答案.其目的就是为了强化所学过的垂径定理及推论1、推论2，为本节课做准备工作.二、新课讲解：例4 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）.
同学们，请看图7-18上这座石桥，这座桥就是例4中的古代的赵州石拱桥，学生一边观察桥的结构，教师一边讲解：“赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的著名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（590～608）李春创建.桥为单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为33米，拱圈矢高约7米，弧形平缓，拱圈由28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属创举，这反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.现在这座桥为全国重点文物保护单位.”教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态.教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“我们如何来求出这座桥的半径呢”？接着教师分析：“我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽成一个几何图形，就是一个圆弧形”.这时教师画出图7-19.
对于一个实际问题求半径的长，能否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要首先分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生共同分析解题思路.教师板书：解：圆 表示桥拱，设 的圆心为o，半径为r米.经过圆心o作弦ab的垂线od，d为垂足，与 相交于足c，根据垂径定理，d是 的中点，c是ab的中点，cd就是拱高.由题设ab=37.4，cd=7.2，od=oc-dc=r-7.2在rt△oad中，由勾股定理，得oa2=ad2+od2，即 r2=18.72+（r-7.2）2解这个方程，得r≈27.9（米）.答：赵州石拱桥的半径约为27.9米.在例4的处理上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书.目的让学生掌握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，对于解决这种典型的问题就是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能很快地把未知转化为已知.从而所求问题得以解决.巩固练习：p.81中1题.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽ab=60mm，求油的最大深度.对于这道题主要由学生分析，教师适当点拨.分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.总结解题思路：巩固练习：教材p.82中2题（略）.三、课堂小结：本节课主要要求学生综合运用垂径定理和勾股定理解决圆中线段的长等问题.如图在⊙o中，设⊙o半径为r，弦ab=a，弦心距od=d，弓形的高de=h.且oe⊥ab于d.
已知：①r、d，求a、h.②r、h，求a、d.③r、a，求d、h.④d、h，求r、a.………对于在⊙o中在r，a，d，h中，只要已知两个量就可求出另外的两个量.所应用的知识点是勾股定理和垂径定理.本节课主要解题思路：四、布置作业：教材p.84中15、16题.教材p.85中4题（b组）
垂直于弦的直径 第7篇
第一课时 （一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， =， =.
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， =， =.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
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垂直于弦的直径 第8篇
第一课时 （一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， = ， = .
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时 （二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 = ，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论.
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.
（七）作业：教材P84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
学生分析，教师适当点拨.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
（四）小结：
1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
垂直于弦的直径 第9篇
教学目标：1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；3、能初步应用垂径定理进行计算和证明.4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.教学重点： 垂径定理及应用.教学难点：垂径定理的证明.教学过程：一、新课引入：请同学们回答下列问题：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________.2、等腰三角形是轴对称图形吗？3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？教师利用提问1.，2.的形式，复习轴对称图形的概念.提问3.的目的是引出本节课的第一个知识点.在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形.教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.接着电脑继续演示，教师讲解：
由图7-9（1）中cd为⊙o的直径；变到图7-9（2）中在⊙o上任意取一点a；再变到图7-9（3）从点a作直径cd的垂线交⊙o于另一个交点b.这时我们可以看出图（3）中的点b与点a是否是对称点呢？a、b是关于什么对称.教师进一步提出当直径cd垂直于弦ab，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容.“7.3垂直于弦的直径（一）”.教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程.逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机.二、新课讲解：为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知cd所在直线是⊙o的对称轴；到图7-9（2）从⊙o上取一点a，过点a作直径cd的垂线交⊙o于点b，得到图7-9（3），这时沿着cd折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论.通过实验——观察——猜想获得感性认识.这个实验结论是否正确，还需要证明.学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去.学生回答证明过程，教师板书.已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.求证：ae=eb， = ， = .证明：连结oa，ob，则oa=ob.又cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是△o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程.为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.〈2〉 〈1〉〈3〉 〈4〉〈5〉把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题.例1 如图7-10，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.
教师分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，学生回答，教师板书计算过程.解：连结oa，作oe⊥ab，垂足为e.∵oe⊥ab，∴ae=eb.∵ab=8cm，∴ae=4cm.又∵oe=3cm，在rt△aoe中，∵⊙o的半径为5cm.教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样.求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来.例2 已知：如图7-11，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程.师生共同参与评价.练习1：教材p.78中1题.练习2：教材p.78中2题.练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价.这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识.
最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成.每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高.三、课堂小结：小结由学生完成，教师进一步强调.1.本节课学习的知识点（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及应用.2.方法上主要学习了（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形.（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距.（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.四、布置作业教材p.84中11、12、13
垂直于弦的直径 第10篇
第一课时 （一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， =， =.
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， =， =.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时 （二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 =，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论.
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.
（七）作业：教材P84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
学生分析，教师适当点拨.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
（四）小结：
1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
垂直于弦的直径 第11篇
第一课时 垂直于弦的直径（一）
教学目标：
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.
难点：垂径定理的证明.
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
（二）垂径定理及证明：
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=EB， =， =.
证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， =， =.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， =， =.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解：连结OA，作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm，∴AE=4cm.
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
(cm).
∴⊙O的半径为5 cm.
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
教师组织学生进行：
知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
（五）作业
教材P84中11、12、13.
第二课时 垂直于弦的直径（二）
教学目标：
（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；
（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点：
重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.
难点：垂径定理的推论1.
学习活动设计：
(一)分解定理（对定理的剖析）
1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析：
（教师指导）
(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）
， ，……（包括原定理，一共有10种）
(三)探究新问题，归纳新结论：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习：
练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）
练习2、按图填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；
（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；
（4）若 =，MN为直径，则________，________，________.
（此题目的：巩固定理和推论）
（五）应用、反思
例、四等分 .
（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）
教材P80中的第3题图，是典型的错误作.
此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
（六）小结：
知识：垂径定理的两个推论.
能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.
（七）作业：教材P84中14题.
第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的：
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点：如何进行辅助线的添加
教学内容：
(一)复习
1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）
涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3.常添加的辅助线：（学生归纳）
⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形
4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）
例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.
例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）
解：分两种情况：
（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，
又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）
由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，
在Rt△OEA中，由勾股定理，得
，∴
同理可得：OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧
同（1）的方法可得：OE=4，OF=3.
∴.
说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 .求：BC的长.
解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC =）
说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.
（三）应用训练：
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
学生分析，教师适当点拨.
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
（四）小结：
1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.
探究活动
如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.
（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.
（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.
（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）
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