不等式的证明（通用14篇）
不等式的证明 第1篇
第四课时
教学目标
1.掌握分析法证明不等式；
2.理解分析法实质——执果索因；
3.提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评.
（学生活动）回答和思考教师提出的问题.
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法.（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式.
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知.
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式.
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证明不等式的概念.（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究.建立新的知识；分析法证明不等式.培养学习创新意识.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 求证
[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法.
证明：（见课本）
[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.
例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
［投影］证法一：因为 ，所以 、去分母，化为 ，就是 .由已知 成立，所以求证的不等式成立.
证法二：欲证 ，因为
只需证 ，
即证 ，
即证
因为 成立，所以 成立.
（证法二正确，证法一错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.）
[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：
要证命题B为真，
只需证明 为真，从而有……
这只需证明 为真，从而又有……
……
这只需证明A为真.
而已知A为真，故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影] 例3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌
握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
【字幕】练习1.求证
2.求证：
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 4、5.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：已知函数 ， ，若 、 ，且 证明
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题.
（五）课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决.一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合.在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括.在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.
作业答案：
思考题：
.因为 ，故 ，所以 成立.
研究性题：令 ， ，则：
， ，
故原不等式等价于
由已知有 . 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 .因为 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即 个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有
2. 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即
说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。
不等式的证明 第2篇
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2.了解作商比较法证明不等式；
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评.
（学生活动）思考问题，回答.
［字幕］1.比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2.比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3.用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形.在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评.
（学生活动）尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 （ ）的大小.
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程.
（学生活动）分析，研究问题.
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系.并说明理由.
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号.
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设 ，比较 与 的大小.
2.已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用.
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评.
（学生活动）完成练习.
［字幕］
1.证明 （ ）.
2.比较 与 的大小，并证明你的结论.
1.证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6.1节和6.2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容.（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式.提出学习任务.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式.
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 .）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法：由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证.
证明：因为 ，则 ，所以 .故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证.
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明.
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法.
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习1 已知，求证
2.已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式.反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上.
1.综合法是证明不等式的基本方法.用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）.即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2.基本不等式.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 5.6.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米.
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
（五）课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 .同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时.
不等式的证明 第3篇
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
（一）教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法.
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 .这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等. 总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键.
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论.
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达.
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性.
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力.
②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题.
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.掌握证明不等式的方法——比较法；
2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.
教学重点 比较法的意义和基本步骤.
教学难点 常见的变形技巧.
教学方法 启发引导式.
教学过程
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？.
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题.
（学生甲回答： ， ， ，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题.
（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.
③理论依据是：
④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.
例1 求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题.与教师一道完成问题的论证.
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证.
证明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号.
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数，并且 ，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.
证明：
＝
＝ .
因为 都是正数，且 ，所以
.
∴ .
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数.
1.当 时，
2.当 时， .以后要记住.
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考.完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习：1.求证
2.已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P16.1，2，3.
2.思考题：已知 ，求证：
3.研究性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识.
（五）课后点评
1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理，顺理成章.
2.在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识.
3.例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点，应着重解决.首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题： ，又 ，获证.
研究性题：
.
所以 ，
不等式的证明 第4篇
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2.了解作商比较法证明不等式；
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评.
（学生活动）思考问题，回答.
［字幕］1.比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2.比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3.用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形.在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评.
（学生活动）尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 （ ）的大小.
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程.
（学生活动）分析，研究问题.
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系.并说明理由.
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号.
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设 ，比较 与 的大小.
2.已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用.
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评.
（学生活动）完成练习.
［字幕］
1.证明 （ ）.
2.比较 与 的大小，并证明你的结论.
1.证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6.1节和6.2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容.（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式.提出学习任务.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式.
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 .）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法：由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证.
证明：因为 ，则 ，所以 .故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证.
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明.
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法.
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习1 已知，求证
2.已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式.反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上.
1.综合法是证明不等式的基本方法.用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）.即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2.基本不等式.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 5.6.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米.
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
（五）课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 .同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时.
不等式的证明 第5篇
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
（一）教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法.
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 .这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等. 总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键.
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论.
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达.
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性.
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力.
②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题.
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.掌握证明不等式的方法——比较法；
2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.
教学重点 比较法的意义和基本步骤.
教学难点 常见的变形技巧.
教学方法 启发引导式.
教学过程
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？.
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题.
（学生甲回答： ， ， ，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题.
（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.
③理论依据是：
④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.
例1 求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题.与教师一道完成问题的论证.
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证.
证明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号.
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数，并且 ，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.
证明：
＝
＝ .
因为 都是正数，且 ，所以
.
∴ .
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数.
1.当 时，
2.当 时， .以后要记住.
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考.完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习：1.求证
2.已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P16.1，2，3.
2.思考题：已知 ，求证：
3.研究性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识.
（五）课后点评
1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理，顺理成章.
2.在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识.
3.例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点，应着重解决.首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题： ，又 ，获证.
研究性题：
.
所以 ，
不等式的证明 第6篇
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
（一）教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法.
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 .这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等. 总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键.
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论.
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达.
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性.
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力.
②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题.
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.掌握证明不等式的方法——比较法；
2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.
教学重点 比较法的意义和基本步骤.
教学难点 常见的变形技巧.
教学方法 启发引导式.
教学过程
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？.
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题.
（学生甲回答： ， ， ，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题.
（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.
③理论依据是：
④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.
例1 求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题.与教师一道完成问题的论证.
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证.
证明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号.
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数，并且 ，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.
证明：
＝
＝ .
因为 都是正数，且 ，所以
.
∴ .
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数.
1.当 时，
2.当 时， .以后要记住.
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考.完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习：1.求证
2.已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P16.1，2，3.
2.思考题：已知 ，求证：
3.研究性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识.
（五）课后点评
1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理，顺理成章.
2.在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识.
3.例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点，应着重解决.首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题： ，又 ，获证.
研究性题：
.
所以 ，
不等式的证明 第7篇
第四课时
教学目标
1.掌握分析法证明不等式；
2.理解分析法实质——执果索因；
3.提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评.
（学生活动）回答和思考教师提出的问题.
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法.（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式.
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知.
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式.
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证明不等式的概念.（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究.建立新的知识；分析法证明不等式.培养学习创新意识.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 求证
[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法.
证明：（见课本）
[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.
例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
［投影］证法一：因为 ，所以 、去分母，化为 ，就是 .由已知 成立，所以求证的不等式成立.
证法二：欲证 ，因为
只需证 ，
即证 ，
即证
因为 成立，所以 成立.
（证法二正确，证法一错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.）
[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：
要证命题B为真，
只需证明 为真，从而有……
这只需证明 为真，从而又有……
……
这只需证明A为真.
而已知A为真，故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影] 例3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌
握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
【字幕】练习1.求证
2.求证：
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 4、5.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：已知函数 ， ，若 、 ，且 证明
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题.
（五）课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决.一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合.在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括.在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.
作业答案：
思考题：
.因为 ，故 ，所以 成立.
研究性题：令 ， ，则：
， ，
故原不等式等价于
由已知有 . 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 .因为 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即 个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有
2. 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即
说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。
不等式的证明 第8篇
第四课时
教学目标
1.掌握分析法证明不等式；
2.理解分析法实质——执果索因；
3.提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评.
（学生活动）回答和思考教师提出的问题.
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法.（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式.
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知.
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式.
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证明不等式的概念.（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究.建立新的知识；分析法证明不等式.培养学习创新意识.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 求证
[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法.
证明：（见课本）
[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.
例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
［投影］证法一：因为 ，所以 、去分母，化为 ，就是 .由已知 成立，所以求证的不等式成立.
证法二：欲证 ，因为
只需证 ，
即证 ，
即证
因为 成立，所以 成立.
（证法二正确，证法一错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.）
[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：
要证命题B为真，
只需证明 为真，从而有……
这只需证明 为真，从而又有……
……
这只需证明A为真.
而已知A为真，故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影] 例3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌
握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
【字幕】练习1.求证
2.求证：
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 4、5.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：已知函数 ， ，若 、 ，且 证明
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题.
（五）课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决.一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合.在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括.在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.
作业答案：
思考题：
.因为 ，故 ，所以 成立.
研究性题：令 ， ，则：
， ，
故原不等式等价于
由已知有 . 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 .因为 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即 个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有
2. 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即
说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。
不等式的证明 第9篇
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2.了解作商比较法证明不等式；
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评.
（学生活动）思考问题，回答.
［字幕］1.比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2.比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3.用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形.在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评.
（学生活动）尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 （ ）的大小.
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程.
（学生活动）分析，研究问题.
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系.并说明理由.
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号.
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设 ，比较 与 的大小.
2.已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用.
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评.
（学生活动）完成练习.
［字幕］
1.证明 （ ）.
2.比较 与 的大小，并证明你的结论.
1.证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6.1节和6.2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容.（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式.提出学习任务.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式.
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 .）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法：由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证.
证明：因为 ，则 ，所以 .故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证.
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明.
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法.
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习1 已知，求证
2.已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式.反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上.
1.综合法是证明不等式的基本方法.用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）.即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2.基本不等式.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 5.6.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米.
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
（五）课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 .同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时.
不等式的证明 第10篇
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
（一）教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法.
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 .这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等. 总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键.
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论.
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达.
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性.
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力.
②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题.
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.掌握证明不等式的方法——比较法；
2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.
教学重点 比较法的意义和基本步骤.
教学难点 常见的变形技巧.
教学方法 启发引导式.
教学过程
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？.
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题.
（学生甲回答： ， ， ，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题.
（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.
③理论依据是：
④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.
例1 求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题.与教师一道完成问题的论证.
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证.
证明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号.
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数，并且 ，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.
证明：
＝
＝ .
因为 都是正数，且 ，所以
.
∴ .
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数.
1.当 时，
2.当 时， .以后要记住.
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考.完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习：1.求证
2.已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P16.1，2，3.
2.思考题：已知 ，求证：
3.研究性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识.
（五）课后点评
1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理，顺理成章.
2.在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识.
3.例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点，应着重解决.首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题： ，又 ，获证.
研究性题：
.
所以 ，
不等式的证明 第11篇
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2.了解作商比较法证明不等式；
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评.
（学生活动）思考问题，回答.
［字幕］1.比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2.比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3.用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形.在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评.
（学生活动）尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 （ ）的大小.
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程.
（学生活动）分析，研究问题.
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系.并说明理由.
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号.
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设 ，比较 与 的大小.
2.已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用.
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评.
（学生活动）完成练习.
［字幕］
1.证明 （ ）.
2.比较 与 的大小，并证明你的结论.
1.证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6.1节和6.2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容.（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式.提出学习任务.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式.
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 .）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法：由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证.
证明：因为 ，则 ，所以 .故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证.
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明.
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法.
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习1 已知，求证
2.已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式.反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上.
1.综合法是证明不等式的基本方法.用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）.即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2.基本不等式.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 5.6.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米.
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
（五）课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 .同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时.
不等式的证明 第12篇
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式；
2.了解作商比较法证明不等式；
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点比较法的应用
教学难点常见解题技巧
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评.
（学生活动）思考问题，回答.
［字幕］1.比较法证明不等式的步骤是怎样的？
2.比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？
3.用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？
[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形.在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.（板书课题）
设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评.
（学生活动）尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 （ ）的大小.
（学生解答问题）
［点评］
①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程.
（学生活动）分析，研究问题.
［字幕］例题3 已知a，b是正数，且 ，求证
［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形.
证明：（见课本）
［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法.此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范.
[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系.并说明理由.
［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号.
解：
因为 ，所以 ，
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
若 ，则 所以 .
即
综上所述： 时，
时，
时，
［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法.要理解为什么分类，怎样分类.分类时要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点.甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点.
[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了.
解：（见课本）
［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题.要培养自己学数学，用数学的良好品质.
设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法.培养学生应用知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习：1.设 ，比较 与 的大小.
2.已知 ， ，求证
设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用.灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号.反馈信息，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
1.比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法.
2.对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.会用分类讨论的方法确定差式的符号.
4.利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤.②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题.
通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力.
设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 7、8。
2，思考题：已知 ，求证
3.研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）
设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想.研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力.
（五）课后点评
1.教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动.
2.教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用.例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用.
作业答案
思考题：证明：
因为 ，所以当 时， ，故
又因为 ，所以
当 时， ，故 ，即 ，所以
当 时， .故 ，即 ，所以
综上所述，
研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则
所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长.
第三课时
教学目标
1.掌握综合法证明不等式；
2.熟练掌握已学的重要不等式；
3.增强学生的逻辑推理能力.
教学重点 综合法
教学难点 不等式性质的综合运用
教学方法 启发引导式
教学活动
（－）导入新课
（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评.
（学生活动）完成练习.
［字幕］
1.证明 （ ）.
2.比较 与 的大小，并证明你的结论.
1.证法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
证法一：由 ，所以
证法二：由 知 ，所以
［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6.1节和6.2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容.（板书课题）
设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式.提出学习任务.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，
（学生活动）学生研究证明不等式.
[问题]证明
（证明：因为 ，所以 ，即 .）
[点评]
①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法证题方法：由已知推出结论.这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质.
设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 已知 ，求证
［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证.
证明：因为 ，则 ，所以 .故
［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证.
证明一（见课本）
证明二：
因为a，b，c是不全相等的正数.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号.
所以
即
[点评]
①综合法的思维特点是：由已知推出结论.用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。
②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号.
③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出
的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明.
我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法.
设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习.甲、乙两位同学板演.
［字幕］练习1 已知，求证
2.已知 ，求证
设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式.反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳，小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程.小结用综合法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上.
1.综合法是证明不等式的基本方法.用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）.即综合法是“由因导果”.
2.运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上.
本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2.基本不等式.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 5.6.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米/小时的速度直达灾区.已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米.
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成.研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
（五）课后点评
1.在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难.因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构.
2.例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系.在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用.
作业答案
思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 .同理 ； 将上述三个不等式相加得
所以
研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则
所以最短时间为12小时.
不等式的证明 第13篇
第四课时
教学目标
1.掌握分析法证明不等式；
2.理解分析法实质——执果索因；
3.提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评.
（学生活动）回答和思考教师提出的问题.
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法.（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式.
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.
（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知.
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式.
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证明不等式的概念.（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究.建立新的知识；分析法证明不等式.培养学习创新意识.
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证.
例1 求证
[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法.
证明：（见课本）
[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此.
例2 已知： ，求证： （用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？
［投影］证法一：因为 ，所以 、去分母，化为 ，就是 .由已知 成立，所以求证的不等式成立.
证法二：欲证 ，因为
只需证 ，
即证 ，
即证
因为 成立，所以 成立.
（证法二正确，证法一错误.错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误.）
[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：
（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）
分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：
要证命题B为真，
只需证明 为真，从而有……
这只需证明 为真，从而又有……
……
这只需证明A为真.
而已知A为真，故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影] 例3 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形边长为 ，截面积为 ，所以本题只需证明：
证明：（见课本）
设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌
握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
【字幕】练习1.求证
2.求证：
设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P17 4、5.
2.思考题：若 ，求证
3.研究性题：已知函数 ， ，若 、 ，且 证明
设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题.
（五）课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决.一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务.总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合.在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括.在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构.
作业答案：
思考题：
.因为 ，故 ，所以 成立.
研究性题：令 ， ，则：
， ，
故原不等式等价于
由已知有 . 。所以上式等价于 ，即 。所以又等价于 .因为 ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目：不等式： 是正数，且 ，则 。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即 个单位溶液中含有 个单位的溶质，其浓度小于加入 个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。
设地板面积为 平方米，窗户面积为 平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的 平方米，住宅的采光条件变好了，即有
2. 是正数，不等式 可以推出 ，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为 、 的电阻，串联电阻为 ，并联电阻为 ，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式 ，即
说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。
不等式的证明 第14篇
教学目标
（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；
（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；
（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；
（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；
（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；
（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参与，培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
（一）教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；
难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；
②综合性问题选择适当的证明方法.
（1）不等式证明的意义
不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
（2）比较法证明不等式的分析
①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法.
②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 .这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式 时，一定要注意 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是：“作差——变形——断号”.
其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等. 总之.能够判断出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是：“作商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明.
（3）综合法证明不等式的分析
①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式.
③综合法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键.
（4）分析法证明不等式的分析
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法.
有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证明不等式的逻辑关系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）
④分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件，二是不易正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
（5）关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.即推理方向是：结论 已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.即：已知 结论.
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点：
从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论.
从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.
也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达.
⑤一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦.因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
（二）教法建议
①选择例题和习题要注意层次性.
不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注意例题安排要由易到难，由简单到综合，层层深入，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对知识进行拓展、延伸，使学生沟通知识，有效地提高解题能力.
②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累经验，能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题.
③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.掌握证明不等式的方法——比较法；
2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.
教学重点 比较法的意义和基本步骤.
教学难点 常见的变形技巧.
教学方法 启发引导式.
教学过程
（－）导入新课
（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？.
（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题.
（学生甲回答： ， ， ，）
［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习：用比较法证明不等式.（板书课题）
设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识.
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明.
（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题.
（得出证明过程后）
［点评］
①通过确定差的符号，证明不等式的成立.这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化.
③理论依据是：
④由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想.
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评.
例1 求证
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题.与教师一道完成问题的论证.
［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证.
证明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［点评］
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号.
②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数，并且 ，求证：
［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证.
证明：
＝
＝ .
因为 都是正数，且 ，所以
.
∴ .
即：
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数.
1.当 时，
2.当 时， .以后要记住.
设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考.完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习：1.求证
2.已知 ， ， ，d都是正数，且 ，求证
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演.
设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号.反馈课堂教学效果，调节课堂教学.
【分析归纳、小结解法】
（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法.
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记.
比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号.要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法.
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识.
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记.
本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识.
（四）布置作业
1.课本作业：P16.1，2，3.
2.思考题：已知 ，求证：
3.研究性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：
设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识.
（五）课后点评
1.本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，教师提出问题，让学生回忆所学知识中，是如何比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式.这样处理合情合理，顺理成章.
2.在建立新知过程中，教师引导学生分析研究证明不等式，使学生在尝试探索过程中形成用比较法证明不等式的感性认识.
3.例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点，应着重解决.首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题： ，又 ，获证.
研究性题：
.
所以 ，
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